O que são área de superfície e volume?
Imagine que você tem uma jarra de água e deseja enchê-la até o fim. Quanta água vai aguentar? Se o seu jarro tiver o formato de um cilindro, será muito fácil descobrir isso antes de você colocar uma única gota de água no jarro. A quantidade total de espaço dentro de um objeto, como o jarro, é chamada de volume .
E se você decidir que quer pintar a parte externa da jarra com uma cor diferente? Quanta tinta você precisaria usar para cobrir toda a superfície externa do jarro. A área da superfície de um objeto é chamada de área de superfície .
Para formas geométricas simples como esferas, cilindros e prismas, é muito fácil calcular o volume e a área de superfície, como você pode ver com essas fórmulas e suas imagens.
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Conforme o objeto fica maior, faz sentido que a área de superfície e o volume também fiquem maiores. No entanto, você consegue adivinhar qual deles ficará maior mais rápido? Por exemplo, se você dobrar o raio de uma esfera, o volume também dobrará? E quanto à área de superfície? Qual deles aumentará mais ou eles aumentarão na mesma quantidade? Vamos dar uma olhada em alguns exemplos e ver se podemos chegar a algumas regras gerais sobre como as mudanças nas dimensões afetarão a área da superfície e o volume de um objeto.
Área de superfície e volume das esferas
Quanto mudaria o volume de uma esfera se você dobrasse o raio? Também dobraria?
Vamos calcular o volume de duas esferas, uma com raio de 1 metro e outra com raio de 2 metros, e ver como os volumes se comparam.
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Como você pode ver, para o primeiro usamos a fórmula 4 / 3π r ^ 3 e, após conectar 1 metro, obtemos um volume de 4,19 metros cúbicos. E com o segundo, temos 33,51 metros cúbicos. Portanto, o volume da segunda esfera é igual a oito volumes da primeira esfera.
Uau! Quando o raio da esfera foi dobrado, seu volume aumentou oito vezes. Isso foi mais do que você esperava? O volume aumentou muito porque o raio é elevado à terceira potência. Isso faz com que o volume aumente muito mais rápido do que o raio. Mesmo pequenas mudanças no raio podem causar grandes mudanças no volume.
O mesmo acontece com a área de superfície? Vamos calcular a área da superfície das duas esferas e ver o que acontece.
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Como podemos ver, depois de inserir os valores na fórmula, 4π r ^ 2, obtemos 12,57 metros quadrados para a esfera um e 50,27 metros quadrados para a esfera dois, tornando a esfera dois igual a quatro esferas. A área de superfície aumentou quando o raio dobrou, mas não tanto quanto o volume. Você consegue adivinhar por que isso aconteceu?
Nesse caso, o raio é elevado ao quadrado e, ao calcular o volume, é elevado à terceira potência. Como você pode ver, isso faz uma grande diferença! A área de superfície e o volume aumentaram quando o raio foi dobrado, mas o volume aumentou muito mais.
Área de superfície e volume dos cilindros
A mesma relação existe para cilindros? Ao contrário das esferas, os cilindros têm duas dimensões que podem mudar: raio e altura. Alterar qualquer um deles provavelmente também alterará a área de superfície e o volume, portanto, desta vez, precisamos alterar apenas um de cada vez e ver o que acontece. Primeiro, vamos começar com um cilindro com raio de 1 metro e altura de 1 metro. Como a área da superfície e o volume mudariam se a altura não fosse alterada, mas o raio fosse dobrado para 2 metros?
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Como podemos ver, a área de superfície do primeiro cilindro é de 12,57 metros quadrados e a do segundo cilindro é de 37,70 metros quadrados, enquanto o volume do primeiro cilindro é de 3,14 metros cúbicos e o volume do segundo cilindro é de 12,57 metros cúbicos. Assim como vimos para a esfera, tanto a área da superfície quanto o volume aumentaram quando o raio dobrou, e o volume aumentou mais do que a área da superfície. No entanto, nenhum dos dois aumentou tanto quanto na esfera.
Agora, que tal mudar a altura? Vamos voltar a um raio de 1 metro e ver o que acontece com a área de superfície e o volume quando a altura dobra, passando de 1 metro para 2 metros.
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Como podemos ver, a área de superfície do primeiro cilindro é de 12,57 metros quadrados e a do segundo cilindro é de 18,85 metros quadrados. O volume do primeiro cilindro é, novamente, 3,14 metros cúbicos e o volume do segundo cilindro é 6,28 metros cúbicos. Portanto, mais uma vez, ambos aumentaram e o volume aumentou mais do que a área de superfície. No entanto, está bem claro que o raio teve um efeito maior na área da superfície e no volume de um cilindro do que a altura.
Área de superfície e volume de prismas
A seguir, vamos ver como a alteração das dimensões de um prisma retangular afeta a área da superfície e o volume do prisma. Vamos começar com um prisma em que todos os lados têm comprimento de 1 metro e depois ver o que acontece quando aumentamos o comprimento de cada lado para 2 metros.
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Como podemos ver, a área de superfície do prisma 1 é de 6 metros quadrados e o prisma 2 tem 24 metros quadrados, enquanto o volume do prisma é 1 metro cúbico e o prisma 2 tem 8 metros cúbicos. Assim como para a esfera e o cilindro, quando as dimensões mudam, o volume muda mais do que a área da superfície.
Área de superfície e volume das pirâmides
Finalmente, veremos como a área da superfície e o volume de uma pirâmide podem ser influenciados pela mudança das dimensões.
Mais uma vez, começaremos calculando a área da superfície e o volume de uma pirâmide em que todas as dimensões (comprimento, largura e altura) são iguais a 1 metro, e então compararemos esses valores com aqueles calculados quando as dimensões são iguais a 2 metros .
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Como podemos ver, a área da superfície da pirâmide um é 4,24 metros quadrados e a área da superfície da pirâmide dois é 12,94 metros quadrados. E o volume da pirâmide um é de 0,33 metros cúbicos e o volume da pirâmide dois é de 2,67 metros cúbicos. Neste ponto, você provavelmente não está surpreso ao ver que a tendência que vimos para as outras formas continua para uma pirâmide. A área de superfície e o volume aumentaram, mas o volume aumentou muito mais.
Resumo da lição
Tudo bem, vamos parar um momento para revisar o que aprendemos. Como aprendemos, a quantidade total de espaço dentro de um objeto é chamada de volume , enquanto a área total da superfície de um objeto é chamada de área de superfície . A área de superfície e o volume podem ser facilmente calculados para formas geométricas simples, como esferas, cilindros e prismas retangulares. Quando as dimensões da forma, como raio, altura ou comprimento mudam, a área da superfície e o volume também mudam. No entanto, o volume do objeto sempre muda mais do que a área da superfície para a mesma mudança nas dimensões.