Combinatoria
É o trabalho dos seus sonhos criar receitas. Bem, talvez não. Mas se você quiser explorar variações de ingredientes em uma receita, pode começar com três temperos básicos: cominho, orégano e manjericão. Quantas variações de receita resultam na escolha de duas dessas três especiarias? E se decidirmos adicionar um tempero no início e um segundo no final do cozimento? Quantas variações de receita? E se pudéssemos usar o mesmo tempero no início e no final? Novamente, quantas variações de receita estamos considerando?
Poderíamos listar todas essas receitas possíveis para todos esses casos porque o número é pequeno. Mas e se tivermos que considerar uma seleção de especiarias de um número maior de especiarias. Eventualmente, não seria prático listar todas as receitas possíveis e contá-las. É aí que entra o campo da combinatória . Nesta lição, exploraremos fórmulas usando exemplos. Mas primeiro, alguma matemática básica.
Cálculos Combinatórios Típicos
O fatorial é expresso como n !. Lemos isso como: n fatorial.
Alguns fatos sobre o fatorial incluem:
 |
Por exemplo:
 |
O fatorial aparecerá em nossos cálculos. Aqui está uma dessas fórmulas:
 |
Lemos o lado esquerdo como: n take k . Digamos que n é 5 ek é 2. Então, obtemos a fórmula com os valores inseridos que você vê abaixo e que eventualmente são iguais a 10.
 |
A propósito, também é verdade que:
 |
Podemos mostrar isso na fórmula abaixo que diz:
 |
Nosso último tipo de cálculo matemático é expresso com parênteses duplos, como você pode ver aqui:
 |
Aqui está um exemplo desse jogo, que você pode ver, no final das contas, é igual a 15.
 |
Agora podemos explorar como usar essa matemática para contar possibilidades.
Contando as possibilidades
Antes de começarmos a usar as fórmulas, vamos realmente contar as possibilidades para nossa situação de receita. Então podemos usar as fórmulas e verificar os resultados.
Para concisão, usaremos C para cominho, O para orégano e B para manjericão.
Ao determinar o número de escolhas possíveis ao selecionar k de n , primeiro decidimos se a ordem é importante ou não.
Digamos que temos esses três temperos e podemos escolher dois para a receita. Um tempero é adicionado no início do processo de cozimento. O outro tempero é adicionado no final. Aqui, a ordem é importante.
Agora, decidimos se a repetição é permitida. Digamos que não haja repetição da mesma variável (que é especiaria em nosso caso). Isso é chamado de permutação com repetição não permitida . A fórmula é dada por:
 |
Vamos listar as receitas possíveis: ( C, O ), ( O, C ), ( C, B ), ( B, C ), ( O, B ), ( B, O ). Existem seis receitas possíveis ao escolher 2 de 3 onde a ordem é importante e não há repetição.
O que a fórmula nos dá? Como podemos ver, isso se transforma em:
 |
Podemos pensar nisso como tendo 3 opções para o primeiro tempero e 2 opções para o segundo tempero. Isso dá 3 x 2 = 6 receitas possíveis.
Uma permutação com repetições permitidas tem a fórmula:
 |
No exemplo da receita, permutações com repetições podem acontecer se você puder usar o mesmo tempero no início e no final. A lista de combinações de especiarias agora é maior: ( C, C ), ( O, O ), ( B, B ), ( C, O ), ( O, C ), ( C, B ), ( B, C ) , ( O, B ), ( B, O ). Existem 9 receitas possíveis.
Nossa fórmula para permutações com repetições permitidas seria:
 |
Podemos pensar nessa situação como tendo 3 opções para o primeiro tempero e 3 opções para o segundo tempero. Então, 3 x 3 = 9 receitas possíveis.
Agora, vamos mudar para os casos em que a ordem não importa. Quando a ordem não importa e a repetição não é permitida, temos uma combinação sem repetição . A fórmula é:
 |
Nessa receita, digamos que podemos usar qualquer 2 dos 3 temperos. Se as especiarias selecionadas forem combinadas e adicionadas uma vez, o pedido não importa. Além disso, se não repetirmos o mesmo tempero para nossa seleção de 2 temperos, teremos uma combinação sem repetição.
Aqui está a lista de receitas possíveis: ( C, O ), ( C, B ), ( O, B ). Existem 3 receitas possíveis.
Vamos verificar isso com nossa fórmula, que, como podemos ver, sai como:
 |
Nosso quarto agrupamento possível é quando a ordem não importa e a repetição é permitida. Isso é chamado de combinação com repetição . A fórmula é:
 |
E se nossa receita permitir duas colheres de sopa dos três temperos disponíveis e pudermos usar o mesmo tempero duas vezes? As especiarias escolhidas são misturadas e adicionadas de uma só vez. Aqui, a ordem não importa e a repetição é permitida. Esta é uma combinação com repetição.
A lista de receitas é: ( C, C ), ( O, O ), ( B, B ), ( C, O ), ( C, B ), ( O, B ). Existem 6 receitas possíveis.
Como você pode ver, nossa fórmula eventualmente nos dá:
 |
Olhando para mais exemplos
Exemplo 1
Digamos que você tenha uma turma com 15 alunos. Desta classe, gostaríamos de formar um grupo menor de três alunos que representarão toda a classe. Haverá um capitão, um primeiro assistente e um segundo assistente. De quantas maneiras podemos escolher este grupo menor?
Solução 1: Aqui a ordem é importante e não há repetição da mesma pessoa. Esta é uma permutação com repetição não permitida. Como podemos ver, torna-se:
 |
Exemplo 2
Gostaríamos de escolher três colheres de sorvete para misturar em nosso milkshake. Os sabores disponíveis são chocolate, baunilha, pistache e morango. Quantas escolhas poderíamos fazer?
Solução 2: Aqui a ordem não importa e a repetição é permitida. Isso é combinação com repetição. Podemos ver que isso se transforma em:
 |
Resumo da lição
Vamos fazer uma breve revisão. Escolher o número de possibilidades disponíveis é o campo da combinatória . Quando a ordem é importante, temos o que é chamado de permutação . Se a ordem não importa, temos uma combinação . Também temos que considerar se as repetições são permitidas ou não. Isso leva a quatro fórmulas neste estudo de combinatória. As quatro fórmulas são as seguintes:
|
|
|
|
Agora você não deve ter problemas para descobrir como descobrir todas as combinações possíveis de sabores na próxima vez que for comprar um sorvete.