Factoring
Você já misturou cores de tintas, como amarelo e azul para formar o verde? Depois de adicionar o azul ao amarelo, é praticamente impossível voltar ao amarelo.
Em álgebra, porém, esse não é o caso. Podemos fatorar uma expressão. O factoring é o processo de localização dos fatores. Digamos que temos 2 x + 4. Podemos fatorar 2 para obter 2 ( x + 2).
É como se tivéssemos extraído magicamente o azul do verde para formar o amarelo. Da mesma forma, se tivermos x ^ 2 + 3 x , podemos tirar um x para obter x ( x + 3). É como tirar o amarelo para fazer o azul.
Mas e se tivermos algo como 18 a ^ 3 + 9 a ^ 2? Este possui números e variáveis que podem ser fatorados. Uau. A paleta de nosso artista ficou um pouco mais complexa. Passamos de pinturas a dedo para, bem, uma paleta de verdade. Nesta lição, aprenderemos como combinar números e variáveis ao fatorar.
Combinando Números e Variáveis
Ok, 18 a ^ 3 + 9 a ^ 2. Vamos fazer isso.
Se quiséssemos apenas fatorar números, olharíamos 18 e 9 e encontraríamos o maior fator comum. Esse é o maior número que é um fator de ambos os números. Com 18 e 9, é 9.
Se nós só queria variáveis fator, nós olharia para que a ^ 3 e uma ^ 2. Podemos fatorar um a ^ 2. Por quê? Porque quando multiplicamos os termos com os expoentes juntos, somamos os expoentes.
Portanto, nesta expressão, podemos fatorar um número e uma variável. Isso significa que queremos combinar as coisas que estamos fatorando. Esse é o 9 e o a ^ 2. Nós os colocamos juntos para obter 9 a ^ 2.
Portanto, 9 a ^ 2 é o maior fator comum dos termos nesta expressão. Se retirarmos 9 a ^ 2 de 18 a ^ 3, com o que nos resta? Bem, o 18 se torna um 2, já que 9 * 2 é 18, e o a ^ 3 se torna apenas a , já que a ^ 2 * a é um ^ 3.
Portanto, temos 2 a . Com 9 a ^ 2, tudo vai embora, não é? Bem, não exatamente. Ficamos com um 1. Por quê? Vamos verificar nosso trabalho. Você não pintaria um quadro sem olhar para ele, certo? Ao fatorar, é sempre melhor olhar para o produto acabado.
Se dissermos que a expressão fatorada é 9 a ^ 2 (2 a ), o que acontece quando distribuímos esse 9 a ^ 2? Acabamos de obter 18 a ^ 3. Para onde foi nosso segundo mandato? É por isso que precisamos ter não apenas 2 a , mas 2 a + 1. Portanto, nossa expressão fatorada é 9 a ^ 2 (2 a + 1). É como se tivéssemos tirado o malva do siena queimada.
Exemplo 1
Vamos tentar um com duas variáveis e três termos: 24 pq ^ 2 + 32 p ^ 3 q + 8 p ^ 2 q . Nós graduamos no impressionismo aqui. Vamos desmontar esta obra-prima.
Novamente, comece com os números. 24, 32 e 8. Vamos ver. Eles são todos pares, então todos têm um 2 como fator comum. Eles também são múltiplos de 4. Mas, podemos ficar maiores? Sim. 8 é um fator de cada número.
E quanto às variáveis? Podemos levar isso separadamente. Há um p , um p ^ 3 e um p ^ 2. Portanto, podemos fatorar a p . Com os q’s , há um q ^ 2 e então dois q’s . Então, vamos fatorar um q . Isso é um 8, um pe um q . Junte isso e teremos 8 pq .
Se fatorarmos 8 pq de 24 pq ^ 2, teremos 3 q . Se fatorarmos 8 pq de 32 p ^ 3 q , teremos 4 p ^ 2. Vamos verificar isso.
8 pq * 4 p ^ 2. 8 * 4 é 32. p * p ^ 2 é p ^ 3. E, bem, q . Então temos 32 p ^ 3 q , que é com o que começamos. Isso é ótimo! Finalmente, se fatorarmos 8 pq de 8 p ^ 2 q , ficamos com apenas p .
Portanto, nossa expressão fatorada é 8 pq (3 q + 4 p ^ 2 + p ). Gosto de pensar em fatoração como observar um pintor ao contrário. Claro, você desmonta a obra-prima, mas tudo fica muito mais limpo no final.
Exemplo # 2
Que tal mais um? -8 a ^ 2 b – 4 ab ^ 2 – 16 ab . Com todos esses sinais negativos, isso é como o Período Azul de Picasso – triste, mas ainda assim muito bom.
Vamos começar com os números. Temos 8, 4 e 16. Nosso maior fator comum é 4.
Mas espere. Isso não é tudo. Temos -8, -4 e -16. Eles são todos negativos! Portanto, podemos fatorar esse sinal negativo também. Isso significa que nosso maior fator comum para os números não é 4, mas -4.
É como se estivéssemos tirando a tristeza do artista. Talvez tenhamos dado a ele um pouco de sorvete. Isso sempre me deixa feliz.
Ok, e as variáveis? Todos eles têm um a , mas apenas um termo tem um a ^ 2. E todos eles têm a b , mas apenas um termo tem a b ^ 2. Portanto, podemos fatorar um ab . Junte isso e vamos fatorar um -4 ab .
Com o primeiro termo, ficamos com positiva 2 um . -4 ab * positivo 2 a é -8 a ^ 2 b . Com o segundo mandato, ficamos com b positivo . -4 ab * b positivo é -4 ab ^ 2. E, finalmente, o terceiro termo será apenas positivo 4. -4 ab * positivo 4 é -16 ab .
Portanto, nossa expressão fatorada é -4 ab (2 a + b + 4). E é isso! Nossa expressão não é mais azul.
Resumo da lição
Para resumir, quando fatoramos uma expressão, estamos apenas encontrando os maiores fatores comuns em cada termo. Se pudermos fatorar tanto números quanto variáveis, procuramos os fatores de cada um e depois os combinamos em um único termo.
Para verificar seu trabalho, basta distribuir o termo que fatorou. Você deve voltar à sua expressão original. Se todos os termos forem negativos, você também pode fatorar esse sinal negativo, o que torna sua expressão muito mais positiva.
Resultados de Aprendizagem
O conhecimento obtido nesta lição pode ajudá-lo a:
- Compreenda o processo de factoring
- Reconhecer os maiores fatores comuns
- Identifique os fatores numéricos e variáveis de uma equação
- Fatore uma equação e combine os fatores em um único termo