Circumradius: Definição
Suponha que um arquiteto esteja projetando um edifício em forma de cúpula e a parte superior tenha um teto de vidro em forma de pentágono com comprimentos laterais iguais (também chamado de pentágono regular) e uma viga circular em torno dele. Enquanto ela está projetando o teto de vidro, ela percebe que precisará ter vigas de suporte que vão de cada um dos vértices da janela pentagonal até o centro da viga de suporte circular, conforme mostrado na imagem.
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Este teto de vidro pentagonal junto com a viga circular que o circunda é, na verdade, um conceito bastante fascinante em matemática! Qualquer círculo desenhado em torno de um polígono, ou forma bidimensional com lados retos, de forma que passe por cada um dos vértices do polígono é chamado de circunferência . Nesse cenário, o teto de vidro pentagonal é o polígono, e o feixe circular é o circuncírculo.
Outra característica importante que um polígono com circunferência possui é um circumradius. O circumradius de um polígono é o raio do circumcircle do polígono. Também pode ser pensado como um segmento de linha que vai de qualquer vértice do polígono ao centro do círculo.
Olhando para trás, para nosso teto de vidro pentagonal, você consegue identificar quais partes dele representariam um circumradius do teto de vidro? Se você está pensando que cada uma das vigas de suporte que vão dos vértices do pentágono ao centro do circunferência seria um circunradius do teto de vidro pentagonal, você está correto! Vamos dar uma olhada em como encontrar o comprimento de um perímetro de um polígono.
Triangle Circumradius
Nem todos os polígonos têm circuncírculos, portanto, nem todos os polígonos têm um circumradius. No entanto, todos os triângulos e todos os polígonos regulares têm essas características, então vamos considerar as fórmulas para encontrar o comprimento do circumradius de um triângulo e para um polígono regular.
Começaremos com um triângulo. Se um triângulo tem comprimentos laterais a , b e c , podemos encontrar o comprimento de seu circunradius usando a seguinte fórmula:
R = ( abc ) / √ (( a + b + c ) ( b + c – a ) ( c + a – b ) ( a + b – c ))
Isso pode parecer uma fórmula complicada, mas quando inserimos valores para a , b e c, descobriremos que realmente não é tão ruim. Por exemplo, suponha que temos um triângulo com comprimentos laterais de 6 polegadas, 8 polegadas e 10 polegadas.
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Para encontrar o comprimento do circumradius deste triângulo, simplesmente deixamos a = 6, b = 8 e c = 10, e inserimos esses valores em nossa fórmula e simplificamos.
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Terminamos com R = 5, então o comprimento do circumradius do triângulo com comprimentos laterais de 6 polegadas, 8 polegadas e 10 polegadas é de 5 polegadas. Isso foi muito fácil! Eu disse que não era tão ruim! Vamos considerar polígonos regulares.
Circunradius regular do polígono
Um polígono regular é um polígono que tem lados de igual comprimento, como o teto de vidro pentagonal em nosso exemplo inicial. Suponha que agora que o arquiteto fez seu projeto, ela contrate um construtor para ajudá-lo a tornar seu projeto uma realidade. Ela diz ao construtor que os lados do teto pentagonal terão 7 pés cada.
Enquanto o construtor está tentando reunir materiais, ele percebe que precisa saber os comprimentos das vigas de suporte que vão dos vértices do pentágono ao centro da viga circular. Em outras palavras, ele precisa saber o comprimento do circumradius do teto de vidro pentagonal. Felizmente, temos outra bela fórmula para o comprimento de um circumradius de um polígono regular.
Se um polígono regular tem n lados, cada um com comprimento s , então o comprimento do perímetro do polígono regular pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
R = s / (2sin (π / n ))
onde π / n está em radianos. Perfeito! Uma vez que o teto de vidro é um pentágono regular, podemos usar essa fórmula para encontrar o comprimento do circumradius do teto, ou o comprimento das vigas de suporte que o construtor precisa saber.
Sabemos que o teto pentagonal tem 5 lados, e o arquiteto disse que cada lado deveria ter 7 pés de comprimento. Portanto, inserimos s = 7 en = 5 na fórmula para o perímetro de um polígono regular e podemos encontrar o comprimento desejado.
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Vimos que o perímetro do teto de vidro pentagonal é de aproximadamente 5,95 pés, então este é o comprimento que cada uma das vigas de suporte deve ter.
Resumo da lição
Tudo bem, vamos reservar um ou dois minutos para revisar o que aprendemos!
Qualquer círculo desenhado em torno de um polígono, ou forma bidimensional com lados retos, de tal forma que passe por cada um dos vértices do polígono é chamado de circunferência desse polígono, enquanto o raio do circunflexo de um polígono é chamado de circunradius do polígono. O circumradius também pode ser pensado como um segmento de linha que vai de qualquer um dos vértices do polígono até o centro do circumcircle.
Nem todos os polígonos têm um circumradius, porque nem todos os polígonos têm um circumcircle, mas todos os triângulos e todos os polígonos regulares têm. Além disso, temos algumas fórmulas interessantes para encontrar os comprimentos do circumradius de um triângulo e de um polígono regular, incluindo, como você pode ver:
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Essas fórmulas facilitam a descoberta do comprimento do perímetro de um triângulo ou de um polígono regular, por isso é uma boa ideia guardá-los em nossas caixas de ferramentas matemáticas para uso futuro!