Definição do Centroid
O centróide de um triângulo é o ponto onde as três medianas do triângulo se cruzam. As medianas são os segmentos que conectam um vértice ao ponto médio do lado oposto. Nesta imagem, o ponto G é o centróide do triângulo ABC.
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Para localizar o centróide de um triângulo, é mais fácil desenhar as três medianas e procurar seu ponto de intersecção. Para desenhar a mediana de um triângulo, primeiro localize o ponto médio de um lado do triângulo. Desenhe um segmento de reta que conecte este ponto ao vértice oposto. Um triângulo com uma mediana desenhada é mostrado aqui:
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Repita esse processo para os outros dois lados do triângulo. Depois de desenhar as três medianas, localize o ponto onde as três se cruzam. Este ponto é o centróide.
Para um triângulo feito de um material uniforme, o centróide é o centro de gravidade. Imagine que um artista desenhasse uma escultura na qual vários triângulos de metal fossem equilibrados nas pontas de pedaços de arame. Para que os triângulos fiquem perfeitamente equilibrados, os fios teriam que ser fixados no centro de gravidade, ou centróide, de cada triângulo, como no móbile mostrado abaixo.
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Propriedades do centróide
Então, quais são algumas propriedades de um centróide?
O centróide está sempre localizado dentro do triângulo. Isso é verdade quer o triângulo seja agudo, direito ou obtuso. Nesta imagem, você pode ver que o centróide está dentro de cada um dos triângulos, embora todos tenham diferentes medidas de ângulo.
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Outra propriedade importante do centróide é que ele está localizado a 2/3 da distância do vértice ao ponto médio do lado oposto. Outra maneira de dizer isso é que o centróide divide a mediana em uma proporção de 2: 1. A distância do centróide ao vértice é duas vezes maior que a distância do centróide ao ponto médio do lado oposto ao vértice.
Você pode usar a distância do centróide ao vértice de um triângulo para encontrar o comprimento de todo o segmento mediano. Você também pode usar esta propriedade para localizar o centróide em um triângulo quando você só pode desenhar uma mediana.
Então, nesta imagem, se você disser que o comprimento do segmento CF é 12 e que CF é uma mediana do triângulo, onde o centróide, G, estaria localizado? Podemos usar a regra 2/3 para determinar a que distância do vértice C o centróide estará. Podemos usar uma equação simples para encontrar a resposta:
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O centróide terá 8 unidades do vértice C, ao longo do segmento CF.
Um paisagista poderia usar essa mesma propriedade se criar um pátio em um terreno triangular. Ela deseja colocar uma escultura no meio do pátio. Como pode ser visto nesta imagem, os três caminhos através do pátio vão cada um de um vértice ao ponto médio do lado oposto. A estátua será colocada no centroide do triângulo. Usando as propriedades do centróide, o paisagista pode determinar a distância de cada vértice do triângulo até a estátua.
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Problemas usando o centróide
Na sala de aula de matemática, quase todos os problemas com o uso do centróide também envolverão uma ou mais medianas no triângulo. Faremos alguns exemplos usando esta imagem como referência:
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Pergunta: Se o segmento CG tem um comprimento de 6 unidades e G é o centróide do triângulo, qual é o comprimento do segmento CF?
Solução: Como CG é o segmento que une o vértice ao centróide, é 2/3 do comprimento total de CF. A divisão por 2/3 nos dará a duração do segmento completo. Podemos escrever uma equação de álgebra e resolvê-la.
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CF tem 9 unidades de comprimento.
Pergunta: Se o segmento AD tem um comprimento de 18 unidades e G é o centróide do triângulo, qual é o comprimento do segmento DG?
Solução: como G é o centróide, AD deve ser uma mediana. O centróide está a 2/3 da distância ao longo da mediana do vértice e, portanto, a 1/3 da distância do ponto D, o ponto médio do lado oposto. Novamente, podemos escrever e resolver a equação.
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Portanto, o segmento DG tem 6 unidades de comprimento.
Pergunta: Se o segmento EG tem um comprimento de 4 unidades e os segmentos AD, BE e CF são todos medianos, qual é o comprimento do segmento BG?
Solução: neste problema, somos informados da distância de um ponto médio ao centróide. Neste problema, estamos procurando a distância do centróide ao vértice. Conforme observado, o centróide divide a mediana em uma proporção de 2: 1. Isso significa que o segmento BG tem o dobro do comprimento do segmento EG.
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O segmento BG tem 8 unidades de comprimento.
Embora cada problema fosse um pouco diferente, todos eles tinham em comum uma menção à mediana ou ao centróide, e fomos solicitados a encontrar os comprimentos de toda a mediana ou de uma porção da mediana. Tenha em mente que esses são os mesmos tipos de cálculos que o artista e o arquiteto paisagista precisariam fazer para localizar com sucesso o centróide em cada um dos triângulos com os quais trabalham!
Resumo da lição
O centróide é o ponto onde as três medianas do triângulo se cruzam. Possui as seguintes propriedades:
O centróide está sempre localizado no interior do triângulo. O centróide está localizado a 2/3 da distância do vértice ao longo do segmento que conecta o vértice ao ponto médio do lado oposto. O centróide está localizado a 1/3 da distância do ponto médio de um lado ao longo do segmento que conecta o ponto médio ao vértice oposto. Para um triângulo feito de um material uniforme, o centróide é o centro de gravidade.
Resumo da lição
O ponto em que as três medianas de um triângulo se cruzam é conhecido como centróide. Existem várias propriedades de um centróide. Ele está sempre localizado no interior do triângulo e é o centro de gravidade, desde que o triângulo seja feito de um material uniforme.
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Resultados de Aprendizagem
Assim que você entender esta lição, certifique-se de que você pode:
- Definir centróide
- Relembre e explique as propriedades de um centróide
- Calcule o comprimento dos segmentos com o uso de um centróide