Cálculo de derivados de funções logarítmicas
Você já olhou para o espaçamento dos trastes em um ukulele? Os trastes são as pequenas barras de metal sob as cordas. Dos pinos de afinação ao orifício de som, o espaçamento dos trastes diminui progressivamente. Isso acontece em todos os instrumentos com trastes, como banjos, guitarras e bandolins. Por que o espaçamento do traste muda?
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Nesta lição, calculamos derivadas de logaritmos. Isso ajudará a explicar o espaçamento dos trastes em instrumentos de corda.
A Derivada do Logaritmo Natural
Começando com a derivada do logaritmo natural:
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Olhe para:
- d / d x , a derivada em relação a x
- ln ( x ), o logaritmo natural de x (pronunciado como ‘lon’ ou ‘l’ ‘n’)
- 1 / x , o resultado
A derivada é a inclinação de uma reta tangente. Você consegue identificar a linha com a maior inclinação?
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A linha azul tem a maior inclinação. A inclinação da linha azul é 1. As inclinações das outras duas linhas são ½ e ¼. Qual e qual? RESPOSTAS: a inclinação da linha vermelha é ½ e a inclinação da linha verde é ¼.
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A linha tangente à curva de ln ( x ) em x = 4 tem uma inclinação de ¼. A derivada de ln ( x ) é 1 / x . Hhmmmm! Colocando a linha vermelha em sua tangente, qual é o valor de x ? RESPOSTA: a linha vermelha tem uma inclinação de 1/2; o recíproco de 1/2 é 2; x = 2. Que tal a linha azul? RESPOSTA: x = recíproco de 1 = 1.
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Nota: ln ( x ) é definido apenas para x > 0.
Derivada de ln (b x ) = 1 / x
E quanto à derivada de ln (b x ), onde ‘b’ é uma constante? Existem pelo menos duas maneiras de explicar a derivada de ln (b x ) = 1 / x . O logaritmo de um produto XY é igual ao logaritmo X mais o logaritmo Y: ln (b x ) = ln (b) + ln ( x ). A derivada de ln (b x ) é a derivada de ln (b) mais a derivada de ln ( x ). A derivada de ln (b) é igual a 0 porque ln (b) é uma constante. Deixando a derivada de ln ( x ), que é 1 / x .
Outra maneira de mostrar a derivada de ln (b x ) = 1 / x usa a regra da cadeia. A derivada de ln (b x ) = 1 / (b x ) vezes a derivada de b x . A derivada de b x é b. Portanto, a derivada de ln (b x ) é b dividida por b x que é 1 / x conforme o esperado.
A derivada de logaritmos com outras bases
Encurte a corda de um ukulele em ½ e o tom dobra. A base do logaritmo para cálculos do ukulele é a base 2.
Em geral, a derivada do logaritmo x com base ‘a’ é dada por:
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Entender essa fórmula começa discutindo as bases . O logaritmo natural tem uma base de 2,7182 … que é o número ‘e’. Às vezes escrevemos ln ( x ) como log e ( x ).
Outras bases? Escrever log 10 ( x ) é o logaritmo com uma base de 10. Vejamos, 100 é 10 ^ 2. Assim, log 10 (100) é 2.
Calculadoras normalmente têm botões ‘log’ e ‘ln’ para a base 10 e a base e. E quanto a outras bases? Para algum ‘a’ de base:
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Usando uma calculadora, ln (100) é 4,60517 e ln (10) = 2,30259. Sabemos que o log de base 10 de 100 é 2. Calcule o log de base 10 de 100 usando logaritmos naturais.
Log 10 (100) é igual a ln (100) / ln (10). Verificando: ln (100) / ln (10) = 4,60517 / 2,30259 = 2. Ótimo!
E se diferenciarmos os dois lados de log a ( x ) = ln ( x ) / ln (a)?
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No lado direito, 1 / ln (a) é uma constante independente de x e pode ser movido na frente da derivada:
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Mas a derivada de ln ( x ) é 1 / x :
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Escrevendo x seguido por ln (a):
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Espaçamento entre trastes em Ukuleles
Encurte o comprimento, L, de uma corda vibrando e a frequência, f, aumenta. Encurte o comprimento de uma corda em 1/2 e a frequência aumentará em 2/1. Veja a relação inversa? Fisicamente, a frequência f é proporcional a 1 ao longo do comprimento L. Na 12ª casa, a corda tem a metade do comprimento e a frequência dobrou. Existem 12 posições de traste nesta duplicação de frequência. Matematicamente, a frequência é proporcional a 2 ^ (n / 12), onde ‘n’ é o número do traste. Você vê como n = 12 dá um fator de 2?
As duas expressões proporcionais af são proporcionais uma à outra. Dizer 2 ^ (n / 12) é proporcional a 1 sobre L significa:
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Onde ‘c’ é uma constante de proporcionalidade. Agora a diversão começa! Tomando a base de toras 2 de ambos os lados:
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Lembrando que log 10 10 ^ 2 é 2, temos log 2 2 ^ (n / 12) é n / 12. E usando o log de propriedade do logaritmo (X / Y) = -log (Y / X):
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Multiplicando ambos os lados por 12:
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Como ‘n’ muda com uma mudança em ‘L’? Este Δn / ΔL é aproximadamente a derivada de ‘n’ em relação a ‘L’.
Lembra como diferenciar o logaritmo de ‘b’ vezes x ? O resultado é apenas 1 / x . Neste caso, temos um ‘1 / c’ como a constante ‘b’ e L é o x . A derivada é 1 / L. Lembra-se de como a derivada do logaritmo de x com base ‘a’ é 1 / ( x ln (a))? Com base ‘a’ = 2:
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Esta aproximação de Δn / ΔL pode ser invertida:
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Para 3 números significativos, ln (2) / 12 é 0,058. Além disso, para trastes adjacentes, Δn é 1. Nossa equação agora é ΔL = -.058L.
O sinal de menos significa que o número de trastes aumenta e diminui o comprimento da corda. Algumas conclusões:
• o espaçamento do traste ΔL é proporcional a L
• conforme L diminui, o espaçamento do traste ΔL diminui
Hora de fazer algumas medições. O comprimento L da corda vibrante no traste n = 1 é 35,3 cm +/- 0,05 cm. No traste n = 2, L é 33,3 cm +/- 0,05 cm. Assim, ΔL = 2 cm +/- 0,1 cm e a média L é 34,3 cm +/- 0,05 cm. Calculando (ΔL / média L) dá -,06 +/- 0,003. Resumindo as medidas e cálculos nos trastes 1 – 2, 5 – 6 e 11-12:
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Entre os trastes 1 e 2, o -.06 +/- .003 significa -.057 <ΔL / L <-.063. Isso concorda muito bem com o previsto ΔL / L = – ln (2) / 12 = -.058. Também há excelente concordância entre a teoria e as medições nos outros dois espaçamentos dos trastes.
Resumo da lição
O logaritmo natural ln é um logaritmo com base e. A derivada é a inclinação de uma tangente. Nesta lição, explicamos por que:
- derivada de ln x = 1 / x para x > 0
- derivada de ln (b x ) = 1 / x onde ‘b’ é uma constante
- derivada do logaritmo de x com base ‘a’ = 1 / ( x ln a)