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Cálculo de derivados de equações exponenciais

Cálculo de derivados de exponenciais


A população é modelada por um exponencial
Exponencial populacional

Você já ouviu alguém dizer que a população da Terra está explodindo? Ou, que há muito tempo, a população não era muito grande, mas depois um monte de gente apareceu de repente aqui e ela só está crescendo e crescendo? Poderíamos ter levado centenas de anos para dobrar nossa população, mas agora não estamos demorando muito. Portanto, a taxa de crescimento da nossa população tem aumentado.

Freqüentemente, a população é modelada por um exponencial . Alguma população é f (t) e é modelada por e ^ t . Portanto, se a população é dada por uma equação P = e ^ t , podemos descobrir com que rapidez a população está realmente crescendo? Uma maneira de descobrir o quão rápido está crescendo é considerar a população como algo que está mudando. Queremos saber a taxa de sua mudança. Queremos saber a derivada da população.

Para fazer isso, precisamos saber como calcular a derivada de um exponencial. Acontece que os exponenciais são muito legais. Mas o que é um exponencial? Um exponencial é como e ^ x , onde e é um número em torno de 2,72. Vejamos o que é e ^ x para alguns valores diferentes de x . Em x = 0, e ^ x = 1. Em x = 1, e ^ x = aproximadamente 2,72. Quando x = 2, tenho e ^ x = 2,72 (aproximadamente) ao quadrado, que é 7,39. Vejamos a inclinação de cada um desses números. Em x= 0, se eu calcular a inclinação da tangente de e ^ x , descobrirei que a inclinação é igual a 1. Em x = 1, onde f (x) é cerca de 2,72, também posso calcular a inclinação do tangente. Se eu representar graficamente (subir / correr), descubro que a inclinação da tangente em 1 é aproximadamente 2,72. Isto é interessante. O que acontece às 2? Em x = 2, se eu calcular a inclinação da tangente, descubro que, talvez não surpreendentemente, a inclinação da tangente é aproximadamente 7,39. Descobrimos que a inclinação, em qualquer ponto, é realmente igual ao valor naquele ponto. Portanto, dado o ponto (2, 7,39), a inclinação neste ponto é na verdade 7,39. Isso é verdade em qualquer lugar ao longo desta curva.


Para f (x) = e ^ x, a inclinação da tangente também é igual a e ^ x
Gráfico Exponencial

O que isso nos diz é que para f (x) = e ^ x , a derivada (a inclinação da tangente) também é igual a e ^ x . Isso é incrível. Pense nisso – em qualquer ponto deste gráfico, a inclinação é igual ao valor. Além do mais, a função e sua derivada são a mesma coisa! Então, se você tirar a derivada da derivada, você vai acabar com e ^ x . Se você tirar a derivada disso, você terminará com e ^ x . Não importa quantas vezes você olhe para a inclinação, ela é sempre igual a e ^ x .

Regras de derivados de exponenciais

Vejamos o inverso disso. Se y = e ^ x , então ln ( y ) = x . Então, o que acontece com a derivada de toras naturais ? Digamos f (x) = ln ( x ). A derivada é igual a 1 / x (não vou provar isso agora). Se você tem uma função que, em vez de ser e ^ x , é igual a uma constante, digamos a ^ x , então a derivada de a ^ x é f` (x) = ( a ^ x ) ln ( a) Se você tiver algum log que não seja de base e (algum log que não seja o logarítmico natural), você pode escrever que f (x) = (log de base a ) x , e você pode encontrar a derivada disso como f` (x) = (1 / (ln ( a )) (1 / x ). Você pode ver novamente que temos 1 / x , assim como no log natural, mas temos este termo extra. Portanto, se voltarmos ao nosso exemplo populacional, P = e ^ t , então a população está mudando com uma taxa de e ^ t . Quanto maiores somos, maiores estamos ficando. Bem, isso explicaria este tipo de gráfico.


Encontrar a derivada no primeiro exemplo de problema
Exemplo 1 de derivada exponencial

Primeiro exemplo

Veja alguns outros exemplos, como f (x) = 3 ( e ^ x ) + 2ln ( x ). Qual é a derivada disso? Bem, vamos dividir e conquistar. Portanto, o f` (x) é igual à derivada em relação ax de toda a equação. Vou dividir isso, porque sei que f` (x) = d / dx ((3 ( e ^ x )) + (2ln ( x ))). Eu sei que posso extrair as constantes: 3 d / dx ( e ^ x ) + 2 d / dx (ln ( x )). Se bem me lembro das minhas regras derivadas, a derivada de e^ x é e ^ x , e a derivada de ln ( x ) = 1 / x . Portanto, f` (x) = 3 ( e ^ x ) + 2 (1 / x ) ou f` (x) = 3 ( e ^ x ) + 2 / x .

Segundo exemplo

Podemos ver um exemplo um pouco mais complexo: f (x) = (4 ^ x ) + 9 (log base 10 ( x )). A derivada é f` (x) = d / dx ((4 ^ x ) + 9 (log base 10 ( x ))). Vou dividi-lo e extrair a constante: f` (x) = d / dx (4 ^ x ) + 9 d / dx (log base 10 ( x )). Se Lembro-me que / d dx ( uma ^ x ) = ( um ^ x ) ln ( um ) e d / dx (log de base de um ( x)) = (1 / ln ( a )) (1 / x) , então posso conectá-los. Portanto, tenho f ‘(x) = (4 ^ x ) ln (4) + 9 (1 / ln (10)) (1 / x ). Posso simplificar isso puxando as constantes (ln (4) é uma constante justa; é um número) para que obtenhamos f ‘(x) = ln (4) (4 ^ x ) + (9 / ln (10) ) (1 / x ).


A solução para o segundo exemplo de problema
Exemplo 2 de derivada exponencial

Resumo da lição

Vamos revisar. Em primeiro lugar, os exponenciais são fantásticos. Eles são incríveis, porque se você tiver f (x) = e ^ x , então a derivada, f` (x) , é e ^ x . Se você tiver f (x) = ln ( x ), então f` (x) = 1 / x . Se você tiver f (x) = a ^ x , então f` (x) = ( a ^ x ) ln ( a ). E se você tem f (x) = log base a ( x ), então a derivada é f` (x)= (1 / ln (a)) (1 / x) .