Definição
O cálculo de resultados possíveis é um processo para determinar o número de resultados possíveis para um evento. Existem vários métodos para conduzir este processo. A melhor maneira de calcular o número de resultados possíveis de um evento depende do tipo de evento e da estrutura do evento.
Um exemplo simples pode ser encontrado nos esportes. Em qualquer jogo de beisebol, há dois resultados possíveis: o Time A vence ou o Time B vence. No entanto, um problema de possibilidade pode ser muito mais complexo do que determinar o número de possíveis vencedores de uma competição atlética entre duas equipes.
Nesta lição, discutiremos como o princípio fundamental de contagem é usado para contar o número de resultados possíveis para vários eventos e para contar o número de permutações para um grupo distinto de objetos.
Princípio fundamental da contagem: eventos múltiplos
Digamos que desejamos pedir um sorvete de casquinha de uma sorveteria local. A loja oferece quatro sabores de sorvete (baunilha, chocolate, pistache e menta) e dois tipos de cones (regular e canela). Precisamos determinar quantos tipos diferentes de cones de sorvete podemos pedir. Uma maneira de resolver nosso problema é criar um diagrama de árvore.
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Existem quatro possibilidades desde a simples escolha de um sabor de sorvete. Depois de escolher um sabor de sorvete, precisamos escolher uma casquinha. Existem dois cones possíveis para escolher, portanto, existem duas combinações possíveis com cada sabor. Portanto, o número possível de cones de sorvete é 4 x 2 = 8. Também podemos ver isso no diagrama da árvore.
Acabamos de usar o princípio fundamental de contagem . Esse princípio afirma que, se houver p possibilidades para um evento e q possibilidades para um segundo evento, o número de possibilidades para ambos os eventos é p x q . Podemos adicionar eventos adicionais a esta fórmula. Digamos que também possamos escolher uma cobertura para nossa casquinha de sorvete entre três opções de coberturas. Então, o número possível de cones de sorvete é 4 x 2 x 3 = 24.
Um exemplo famoso do princípio fundamental da contagem é a possível combinação de letras e números para a placa de um veículo. Claro, cada estado tem sua própria política para o número e os tipos de caracteres que podem ser colocados em uma placa emitida naquele respectivo estado. Digamos que nossa placa tenha quatro números e duas letras semelhantes à placa New York mostrada. Os números vêm primeiro e depois as letras.
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Os números podem variar de 0 a 9 e as letras podem ser qualquer letra do alfabeto. Existem 10 resultados possíveis para cada um dos primeiros quatro personagens e 26 resultados possíveis para cada um dos dois últimos personagens. Usando o princípio fundamental de contagem, a possível combinação de números e letras em nossa placa de carro é 10 x 10 x 10 x 10 x 26 x 26 = 6.760.000. Imagine usar um diagrama de árvore para resolver esse problema.
Princípio fundamental de contagem: permutações
Uma permutação é um arranjo, ou ordenação, de um conjunto de objetos. Digamos que temos uma corrida de cavalos de seis cavalos e que precisamos organizar esses cavalos no portão de largada. Queremos determinar quantos arranjos dos seis cavalos são possíveis.
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Existem seis possíveis cavalos que podemos escolher para colocar na primeira baia. Depois de selecionar um dos cavalos para a primeira baia, cinco cavalos permanecem para seleção na segunda baia. Portanto, cada cavalo que poderia estar na primeira baia pode ser seguido por qualquer um dos cinco cavalos restantes. De acordo com o princípio fundamental de contagem, existem 6 x 5 = 30 permutações de cavalos para as duas primeiras baias. Mas ainda precisamos arrumar o resto dos cavalos. Para a terceira baia, existem 4 cavalos restantes para escolher e assim por diante. Este padrão continua até que todos os cavalos sejam colocados nas baias do portão de largada. O número total de permutações dos seis cavalos é 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
O problema da porta de partida é muito semelhante aos nossos exemplos anteriores, exceto que continuamos selecionando o mesmo conjunto de objetos, dos quais há um a menos para escolher após cada seleção.
Se precisamos organizar apenas uma parte de um conjunto de objetos, então organizamos o número de objetos que foram direcionados. Digamos que temos sete plantas distintas, mas precisamos apenas organizar três dessas plantas em uma prateleira. Temos sete possibilidades para o primeiro lugar na prateleira. Para o segundo lugar da prateleira, só temos seis possibilidades porque uma das plantas já foi escolhida. Finalmente, temos cinco possibilidades para o terceiro lugar. Nossa resposta final é 7 x 6 x 5 = 210. Existem 210 maneiras possíveis de organizar 3 plantas selecionadas a partir de um conjunto de 7 plantas distintas.
Resumo da lição
O princípio fundamental de contagem é a regra principal para calcular o número de resultados possíveis. Se houver p possibilidades para um evento e q possibilidades para um segundo evento, então o número de possibilidades para ambos os eventos é p x q . Se um terceiro evento for adicionado, como r , então o número de possibilidades para todos os três eventos é p x q x r . Esta fórmula pode ser estendida a quantos eventos forem necessários. O princípio fundamental da contagem também é útil para determinar o número de permutações possíveis de um conjunto de objetos. Uma permutaçãoé um arranjo, ou ordenação, de um conjunto de objetos. Podemos pensar em cada evento como o número restante de objetos disponíveis para serem organizados.