Problemas Financeiros em Matemática
Imagine que você acabou de ganhar $ 1.000 em um concurso de redação! Antes de mais nada, parabéns! Agora você provavelmente vai querer investir esse dinheiro. Suponha que você decida que deseja investir seu dinheiro em uma conta que rende juros nos próximos dois anos. Vamos fazer uma viagem ao banco e descobrir suas opções.
Chegamos ao banco e nos encontramos com um banqueiro pessoal, que nos diz que eles podem lhe oferecer três opções:
- Uma conta poupança que oferece 1,5% de juros simples
- Um certificado de depósito oferecendo 2,1% de juros compostos mensalmente
- Uma conta do mercado monetário que oferece 1,9% de juros compostos continuamente
A questão é: qual é a sua melhor opção? Qual investimento produzirá o maior retorno?
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Este é um excelente exemplo de problema financeiro em matemática . Felizmente, temos um modelo matemático que podemos usar para cada conta para descobrir quanto dinheiro você terá após dois anos. Impressionante!
Vemos que cada uma das três contas diferentes tem um tipo diferente de interesse. Esses três tipos de juros são juros simples , juros compostos e juros compostos continuamente . Vamos dar uma olhada em cada conta, cada tipo de juros e o modelo que podemos usar para descobrir quanto dinheiro estaria na conta após dois anos. Isso o ajudará a descobrir em qual conta você deve investir. Vamos começar.
Simples interesse
Vamos começar com a primeira conta. Esta conta trata de juros simples. Os juros simples são calculados sobre o investimento inicial de cada ano. Não é agravado. Em geral, quando investimos P dólares, chamados de principal , em uma conta que oferece r % (na forma decimal) de juros simples, o valor, A , do dinheiro na conta após t anos é dado pelo seguinte modelo:
A = P (1 + rt )
Isso é ótimo! Podemos usar este modelo para descobrir quanto dinheiro você teria depois de dois anos se escolhesse a primeira opção. Sabemos que seu investimento principal é de $ 1.000 e que você deixará o dinheiro na conta por 2 anos. O banqueiro nos disse que a conta oferece juros simples de 1,5%. Para colocar 1,5% na forma decimal, simplesmente movemos o ponto decimal duas unidades para a esquerda para obter 0,015. Portanto, temos P = 1000, t = 2 e r = 0,015. Conectando-os e simplificando, obtemos o valor da conta após dois anos.
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Vemos que depois de dois anos, o saldo da conta seria de $ 1.030,00. Ok, agora vamos dar uma olhada nas próximas duas contas.
Juros compostos
A segunda conta tem a ver com juros compostos. Em juros compostos , os juros são compostos n vezes por ano. Com cada composição, os juros são adicionados ao saldo da conta e, em seguida, os juros são ganhos no novo saldo mais alto. Para calcular o valor, A , em uma conta que oferece r % (na forma decimal) compostos n vezes por ano, após t anos, usamos a seguinte fórmula:
A = P (1 + r / n ) nt
Podemos usar isso para descobrir quanto dinheiro você teria após dois anos se escolhesse a segunda conta. Novamente, o investimento principal é de $ 1.000 e o tempo de permanência do dinheiro na conta é de dois anos. A conta oferece 2,1% (0,021 na forma decimal) compostos mensalmente, ou seja, 12 vezes ao ano. Assim, inserimos P = 1000, t = 2, r = 0,021 e n = 12 no modelo.
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Vemos que a segunda conta teria $ 1.042,86 após dois anos. Ok, dois já foram, falta um. Vamos dar uma olhada na terceira conta.
Juros compostos continuamente
A última opção de conta oferece juros compostos continuamente. Quando os juros são compostos continuamente , são iguais aos juros compostos, exceto que os juros são compostos constantemente – até mais do que a cada segundo! Portanto, é chamado de composição contínua. O modelo que usamos para calcular a quantidade de dinheiro em uma conta ao lidar com composição contínua é o seguinte:
A = Pe rt
Onde A = o valor na conta, P = investimento principal, r = taxa de juros na forma decimal, et = número de anos em que o dinheiro está na conta. Você pode notar que há outra letra lá, a saber e . A letra e é chamada de número de Euler, um número irracional realmente interessante com valor aproximado de 2,71828. Você pode encontrar o número e na maioria das calculadoras científicas.
Vamos usar este modelo para analisar a opção da terceira conta. Você está investindo $ 1.000 em uma conta que oferece 1,9% (0,019 na forma decimal) de juros compostos continuamente por dois anos, então inserimos P = 1000, r = 0,019 e t = 2 no modelo.
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Descobrimos que haveria $ 1.038,73 na conta após dois anos se você escolhesse a terceira opção de conta.
Olhe para isso! Ao usar esses métodos, vemos que a segunda conta resultaria em mais dinheiro, portanto, esta é a sua melhor opção.
Resumo da lição
Modelos matemáticos são usados o tempo todo em situações financeiras, principalmente quando há interesse envolvido. Para determinar suas melhores opções de investimento, consideramos três tipos de juros: juros simples , juros compostos e juros compostos continuamente . Temos modelos matemáticos para cada um desses tipos de juros que podemos usar para resolver problemas financeiros.
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Existem muitos outros modelos matemáticos que podem ser usados em situações financeiras, mas esses são os três básicos que é importante conhecer. Na próxima vez que você for ao banco, certamente estará mais bem preparado para descobrir suas melhores oportunidades de investimento.