Revisão Rápida do Integral Definido
Vamos revisar o que sabemos sobre integrais. A integral definida de f (x) em algum intervalo de x = a até x = b é escrita como a integral de a até b de f (x) dx . Aqui, f (x) é nosso integrando e x é nossa variável de integração. Isso também pode ser escrito como uma soma de Riemann. Tomamos nosso f (x) entre um e b , e cortá-lo em fatias muito finas e estimamos a área de cada uma dessas fatias. Escrevemos isso como o limite delta ( x) vai para zero (conforme as fatias ficam infinitamente finas) da soma de k = 1 an (cada fatia) de f (x) nessa fatia (a altura) vezes delta ( x ) dessa fatia (a largura).
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Uma aplicação da integral definida é encontrar a área de uma propriedade. Outra aplicação é encontrar a distância que você pode ter viajado. Digamos que você tenha sua velocidade em função do tempo. A distância que você percorreu é a área sob a curva. Você precisa encontrar a área da curva e descobrir exatamente o quão longe você foi em um determinado período de tempo.
Primeiro Exemplo: Formas Trapézio Específicas
Vejamos um exemplo realmente específico. Digamos que você esteja indo para a cidade e em t = 0 esteja indo a 30 mph. Sua velocidade diminui linearmente (ou seja, é uma linha reta), de modo que uma hora em ( t = 1), você está indo apenas a 20 mph. Digamos que você esteja atingindo o trânsito ao entrar na cidade.
Posso representar graficamente isso como velocidade em função do tempo entre t = 0 e t = 1, onde a função é f (t) = 30 – 10 t . Você não precisa saber de onde vem essa equação; diga que é dado a você. Assim, em t = 0, sua velocidade é de 30 mph e em t = 1 sua velocidade é de 20 mph. Para descobrir o quão longe você foi naquela hora, o que queremos fazer é tomar a integral de t = 0 at = 1 de (30 – 10 t ) dt . Portanto, estamos integrando sua velocidade ao longo deste período de tempo.
Se eu der uma olhada nisso, é apenas um trapézio. Se eu quiser encontrar a área sob a curva, ou seja, a integral, posso apenas usar o que sei sobre geometria e resolver para a área de um trapézio. A área de um trapézio vai ser ( f ( t esquerda) + f ( t direita)) / 2 * delta ( t ). Qual é a nossa altura do lado esquerdo? Isso é f (t) no limite esquerdo. Então isso é f ( t = 0).
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Vamos inserir: (30 – 10 (0)) + 30 – 10 (1) / 2 * delta ( t ). Simplificado, obtemos (30 + 20) / 2 * delta ( t ). Delta ( t ) é a mudança no tempo (lembre-se de que o delta é mudança), então a mudança no tempo é 1 – 0, ou 1 hora. Eu vou de 0 a 1 hora, então meu delta ( t ) é 1. Se eu conectar todos aqueles em minha fórmula trapezoidal, eu obtenho (30 + 20) / 2 * 1 = 25. Então, eu passei 25 milhas em uma hora.
Exemplo 2: Formas Trapézio Gerais
Vamos tentar generalizar isso um pouco. Digamos que temos a função y = x , e queremos encontrar a área sob esta curva entre x = a e x = b . Isso é apenas escrever a integral de a a b de xdx . Novamente, como y = x é uma linha reta, este é apenas um trapézio lateral. Eu sei que a área é a largura de um lado mais a largura do outro dividido por 2 vezes a altura. Portanto, para a largura do lado esquerdo, tenho o valor da minha função em x = a . A largura do outro é f (b). Eu divido isso por 2, e minha altura é essa mudança em x , então isso é b – a.
Como minha função é igual ax , se eu avaliar f em x = a , obtenho a e f (b) é apenas b . Vamos conectá-los. Eu sei que minha integral agora é a área sob a curva, que é ( a + b ) / 2 * ( b – a ). Se eu multiplicar isso, obtenho ( b ^ 2 – a ^ 2) / 2. Esta fórmula vale agora para qualquer valor de a e b . Contanto que minha função seja x , e estou indo de a para b, Eu sei que a área sob a curva, esta integral, é igual a ( b ^ 2 – a ^ 2) / 2.
Exemplo 3: Retângulos
Que tal um caso mais simples? Digamos que minha velocidade, ou minha função, seja constante, c . Eu tenho um gráfico de y = c de x = a até x = b . A integral de a a b de cdx é a área sob esta curva. É apenas um retângulo, então eu sei que a área é a altura vezes a largura. A largura é b – a , a mudança em xe minha altura é c , porque em qualquer lugar ao longo da linha y é igual a c .
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Se eu inserir números, digamos que estou indo a 7 mph por 10 horas, estou integrando 7 de 0 a 10. Escrevo a integral de x = 0 a x = 10 de 7 dx . Se eu usar minha fórmula para integrar uma constante, descubro que a integral de 0 a 10 de 7 dx é apenas (10 – 0) 7, que é apenas 70. Isso faz muito sentido porque eu só tenho um retângulo com o altura de 7 e largura de 10.
Resumo da lição
Estas são formas simples e, certamente, nem todas as funções serão formas simples que você conhece a geometria e como encontrar a área. Para formas como essa, você pode calcular a integral definida com exatidão. Lembre-se de que a integral definida é a área sob a curva, que é a integral de a até b de f (x) dx .