Regras básicas
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Vamos dar uma olhada no Super C, a bala de canhão humana, e vamos olhar sua altura em função do tempo. Sabemos que podemos encontrar sua velocidade vertical , ou o quanto sua altura muda em função do tempo, tomando a derivada de sua altura. Podemos tomar esse limite formalmente usando a fórmula h ‘(t) = o limite quando delta t se aproxima de zero de ( h ( t + delta t ) – h (t) ) / delta t .
Mas há uma maneira mais fácil, então vamos falar sobre os limites de potências e polinômios. Essas são potências, como f (x) = x ^ 6, e polinômios, como f (x) = 3 + x ^ 47 – x ^ 22 + (1/2) x ^ 15 e assim por diante. Sabemos que, no caso de um polinômio, podemos dividir e conquistar. Podemos analisar cada termo individualmente. Precisamos apenas encontrar a derivada de 3, depois a derivada de x ^ 47 e assim por diante.
Vamos começar com os derivados mais fáceis. Vamos começar com uma constante, como f (x) = 1. Se eu representar graficamente, tenho uma linha reta. Além disso, sei que a derivada é a inclinação da tangente desta reta e poderia dizer qual é essa derivada apenas olhando para este gráfico. A inclinação dessa linha é constante; é sempre igual a zero. Portanto, a derivada de alguma constante, como f (x) = 1, é igual a zero.
Vejamos um um pouco mais complicado, como f (x) = x . Se eu representar graficamente isso, vejo novamente que a inclinação é constante. Além disso, eu sei que dizer f (x) = x é como dizer y = x + 0. Da forma inclinação-interceptação, sei que a inclinação aqui é 1 e posso calcular isso em qualquer lugar ao longo da linha. Se f (x) = 3 x , eu sei que a inclinação é 3, então a derivada vai ser igual a 3.
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Encontrando Derivados de Polinômios
Ok, isso não é tão ruim. Que tal um caso como f (x) = x ^ 2? Ao fazer o gráfico, a inclinação da tangente nem sempre é constante. Portanto, ao encontrar a derivada de x ^ 2, preciso usar um cálculo formal. Vamos usar f` (x) = o limite conforme delta x se aproxima de zero de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x . Vamos inserir f ( x + delta x ), que é ( x + delta x ) ^ 2, e f (x) , que é x ^ 2. Podemos expandir o ( x+ delta x ) ^ 2 e resolva para ver que o limite conforme delta x vai para zero é 2 x + delta x . Bem, como delta x vai para zero, isso é igual a 2 x , então a derivada de f (x) = x ^ 2 é igual af ‘(x) = 2 x . Quando x = 0, f (x) = 0 ef` (x) = 0. Em x = 2, f (x) = 4 e f` (x) = 2 x = 4. Portanto, a inclinação da tangente nesse ponto é igual a 4.
Vamos ver mais um. Vejamos f (x) = x ^ 3. Agora, a derivada ainda é igual a ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x . Mas agora f ( x + delta x ) = ( x + delta x ) ^ 3 e f (x) = x ^ 3, então isso fica mais complicado. Mais uma vez, você pode expandir ( x + delta x ) ^ 3, simplificar os termos e dividir o topo e o fundo por delta x . Você descobre que a derivada de x ^ 3 é 3 x^ 2.
A regra de poder para derivados
Podemos continuar, mas vamos parar e dar uma olhada no padrão que temos. Digamos que y = f (x) para cada um desses casos, então quando y = 1, então y` = 0. O que eu poderia dizer em vez de y = 1, é y = x ^ 0, uma vez que qualquer coisa elevada à potência zero é igual a 1. Quando y = x , posso escrever que x ^ 1, a derivada é 1. Quando y = x ^ 2, a derivada é 2 x . Quando y = x ^ 3, a derivada é 3 x ^ 2.
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Então você pode ver que há um padrão acontecendo aqui, e isso leva a uma boa regra de potência para derivadas . Se f (x) = x ^ n , então a derivada f` (x) = nx ^ ( n – 1).
- Quando tínhamos y = x ^ 0, n = 0, então nossa derivada era 0 x ^ (0 – 1), que é apenas 0.
- Quando y = x ^ 1, tínhamos n = 1, então nossa derivada foi 1 x ^ (1 – 1), ou 1 x ^ 0, que é apenas 1.
- Quando y = x ^ 2, tivemos n = 2, então nossa derivada foi 2 x ^ (2 – 1), ou apenas 2 x .
- Quando y = x ^ 3, tivemos n = 3, então nossa derivada foi 3 x ^ (3 – 1), ou apenas 3 x ^ 2.
Você pode fazer isso para qualquer coisa, como f (x) = x ^ 47. Você poderia expandir para a potência 47, mas usando nossa regra, você poderia simplesmente escrever f` (x) = 47 x ^ (47 – 1), que simplifica como 47 x ^ 46. Você pode até usar essa fórmula quando f (x) = x ^ -2. Nesse caso, seu n é -2, então sua derivada é -2 x ^ (- 2 – 1) ou apenas -2 x ^ -3.
Calculando a velocidade vertical
Agora vamos voltar e olhar para a velocidade vertical do Super C, a bala de canhão humana. Novamente, podemos olhar para sua altura em função do tempo é h (t) = -16 t ^ 2 + 36 t . Agora você pode voltar e fazer isso formalmente ou pode apenas usar nossa nova regra:
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h` (t) = d / dt ( h (t) ) = d / dt (-16 t ^ 2 + 36 t )
- Podemos dividir e conquistar para h` (t) = d / dt (-16 t ^ 2) + d / dt (36 t )
- Podemos extrair as constantes para h` (t) = -16 d / dt ( t ^ 2) + 36 d / dt ( t )
- Usando a regra de potência para derivadas, temos h` (t) = -16 (2 t ) + 36 (1)
- Podemos expandir isso para h` (t) = -32 t + 36.
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Esta é a mesma resposta que teríamos obtido se tivéssemos feito a expansão formal e muito mais complicada da derivada.
Resumo da lição
Ao encontrar as derivadas de qualquer tipo de potência ou polinômio, lembre-se sempre da regra rápida: se tivermos uma função f (x) = x ^ n , então a derivada, f` (x) = nx ^ ( n – 1).