Bem-vindo a Radonville
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Digamos que você seja o prefeito de uma pequena cidade chamada Radonville, com uma população de 1.000. Você foi encarregado de determinar se precisa ou não de construir uma nova prefeitura. Sua prefeitura deve abrigar todos os seus residentes. Agora, bem, vamos apenas dizer que está começando a ficar um pouco pequeno. Para construir uma nova prefeitura, você precisa ter uma boa ideia, ou uma boa estimativa, de como sua população está mudando com o tempo. Não adianta construir uma prefeitura agora se ela será muito pequena em cinco anos. Você quer construir uma prefeitura que possa durar 30 anos ou mais. Para fazer isso, você precisa saber como sua população está mudando em função do tempo.
Problema de dinâmica populacional
De acordo com o censo mais recente, a população está crescendo a uma taxa de 5%, e atualmente a população é de 1.000 pessoas. Podemos escrever isso como população, ou P , igual a 1.000 em t igual agora; isso é t = 0. Quando a população chegará a 2.000? Quando chegará a 5.000? Estas são as perguntas que você precisa responder. E, como prefeito da cidade, você está equipado para isso.
Vejamos primeiro o que significa que o crescimento populacional é de 5% ao ano, por pessoa. Como o crescimento é de 5%, isso significa que a cada ano, cada pessoa que está na cidade é responsável por 5% de uma pessoa nova. Se estou na cidade, por cada ano que estou lá posso criar um pé – 5% de uma nova pessoa. Se somos 20, talvez tenhamos criado uma nova pessoa. Cada um de nós cria 5% da pessoa, então 20 de nós criam a pessoa inteira. Na verdade, essa taxa é o número de novas pessoas por pessoa, por ano. É uma taxa por pessoa, por vez. Para encontrar o crescimento populacional em função do tempo, precisamos multiplicar essa taxa por pessoa pela população atual. Se há 1.000 pessoas e cada um de nós está contribuindo com 5% de uma pessoa, quantas pessoas estamos criando a cada ano?
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Fórmula de crescimento populacional
Se escrevermos isso em termos de diferenciais, escreveremos dP / dt , que é a mudança na população ao longo do tempo, igual a 5% ou 0,05 vezes P – essa é a população atual. Esta é uma equação diferencial padrão. Podemos resolver isso como para P em função de t . Vamos usar separação de variáveis. Lembre-se de que é onde obteremos todos os P s no lado esquerdo da equação e todos os t s no lado direito da equação. Temos (1 / P ) dP = 0,05 dt . Se eu integrar os dois lados, obtenho o logarítmico natural (ln) de P = 0,05 tmais uma constante de integração ( C ). Usando o que eu sei sobre exponenciais, posso levar e ^ (ln ( P )) e voltar P . No lado direito, então, eu tenho e ^ (0,05 t + C ). Isso é o mesmo que ( e ^ (0,05 t )) ( e ^ C ). Como C é apenas uma constante, e ^ C será uma constante, então vou chamá-lo de C sub 1 para não ter que escrever este e extra aqui. Ok, então eu sei que minha população é igual a alguma constante, Csub 1, vezes e ^ (0,05 t ). Podemos encontrar essa constante C ? Se não conseguirmos encontrar essa constante C , então não sei qual é a população em um determinado momento. Vamos usar o que sabemos sobre a população agora. Neste momento, em t = 0, a população é 1.000. Se eu inserir P = 1.000 et = 0, posso resolver para C sub 1. C sub 1 é então 1.000. No geral, acho que a população de Radonville é igual a 1.000 e ^ (0,05 t ).
Quando chegaremos a uma população de 2.000? Vamos conectar 2.000 para população e resolver para t . 2.000 = 1.000 e ^ (0,05 t ). Divida os dois lados por 1.000. Em seguida, pegue o log natural de ambos os lados. Eu obtenho ln (2) = 0,05 t . Se eu resolver para t , descubro que a população será de 2.000 em menos de 14 anos. Isso não é tão ruim. Com sorte, não serei prefeito até então. Então, se eu construir uma sala que pode acomodar 2.000 pessoas, devemos ficar bem por um tempo. Mas digamos que queremos nos preparar para 5.000 pessoas. Quanto tempo vai durar esse corredor? Quando nossa população chegará a 5.000? Vamos conectar 5.000. 5.000 dividido por 1.000 é 5. Pegue o logarítmico natural de ambos os lados e obtenho ln (5) = 0,05 t. Resolva isso por te eu tenho 32,2 anos. Ok, então se eu construir uma prefeitura com capacidade para 5.000 pessoas, ela durará 32 anos, assumindo que nossa população continue a crescer 5% ao ano.
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Outros problemas de taxa
Esse tipo de crescimento exponencial é o mesmo tipo de comportamento que você vê em coisas como contas bancárias ou bolsas de valores, em média. Em uma conta bancária, você obterá um retorno que é uma porcentagem de juros com base no valor que você tem no banco. A variação na quantidade de dinheiro que você tem no banco ( dM ) ao longo do tempo ( dt ) é igual à sua taxa de juros ( r ), por dólar por ano, vezes o número de dólares que você tem; o chamado de deixar isso M .
Esta equação se parece exatamente com a última. Posso separar as variáveis e integrar, puxar para baixo minha constante de integração e descobrir que a quantidade de dinheiro que tenho no banco é igual a C sub 1 vezes e à minha taxa de juros vezes o tempo ( M = ( C sub 1) ( e ^ ( rt )). O que isso significa? Digamos que eu comece com $ 10.000 no banco. Se eu começar com $ 10.000 no banco agora, isso é t = 0, então minha constante, C sub 1 = 10.000. Se as taxas de juros forem 0,9%, ou 0,009 para r , então após 30 anos ( t= 30), posso resolver esta equação para descobrir quanto dinheiro tenho no banco. É 10.000 e ^ (0,009 * 30). Isso me dará $ 13.000. Isso não é muito interesse. Isso representa $ 3.000 de juros em 30 anos.
Mas e se eu puder investir no mercado de ações e obter um retorno de 5%? Se eu conseguir um retorno de 5%, isso significa que minha taxa é de 0,05. Depois de 30 anos, terei um total de 10.000 e ^ (0,05 * 30), o que é igual a pouco menos de $ 45.000. Por que esses problemas são tão semelhantes? Eles são semelhantes porque ambos são problemas de taxa . Em ambos, a variável com a qual você se preocupa, a população ou a quantidade de dinheiro que você tem, está mudando proporcionalmente ao valor atual de sua variável, como sua população atual ou a quantidade atual de dinheiro que você tem. Você pode escrever ambos na forma dP / dt = kP ou dM / dt = rM. Ambos têm a mesma forma. Isso significa que você pode resolvê-los usando uma separação de variáveis. Ao fazer isso, você encontra este termo exponencial, como P = Ce ^ rt .
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Este é esse tipo de exponencial. Agora, quão alto é esse exponencial, se você representá-lo em um gráfico, vai depender de seu valor inicial. A rapidez com que aumenta depende da taxa. Pense nisso em termos de sua população. Quão alta é sua população em função do tempo depende em parte, pelo menos inicialmente, de quão alta sua população está atualmente. A rapidez com que sua população aumenta depende de como sua população está mudando ou de que porcentagem. Uma porcentagem mais alta significa que está mudando mais rápido e este gráfico será mais íngreme. Uma porcentagem mais baixa, ou um crescimento populacional de zero, resultará em uma curva plana. Ambos são problemas de taxas.
Resumo da lição
Ok, vamos revisar. Sempre que você vir um problema de taxa , quando você tiver uma derivada como dP / dt no lado esquerdo e algo proporcional à sua variável de interesse no lado direito ( rP ), tente usar a separação de variáveis e espere uma solução que se pareça com e ^ ( rt ).