Encontre a raiz quadrada X
Etapa 1: Decida sobre a precisão desejada da resposta.
O método é iterativo e levará a uma resposta tão precisa quanto desejamos. Baseamos a precisão de quão perto da praça da nossa resposta é a X .
Vamos escolher uma precisão de 0,01%
Etapa 2: calcule o intervalo de respostas aceitáveis.
Saber as respostas aceitáveis mais baixas e mais altas torna mais fácil decidir quando temos uma boa resposta e podemos interromper o método.
0,01% de 27 é 0,0001 (27) = 0,00027.
Estamos procurando uma raiz quadrada de 27 que, quando elevada ao quadrado, estará entre 27 – 0,00027 e 27 + 0,00027. Fazendo a subtração e adição, obtemos um intervalo entre
26.9973 e 27.0027.
Etapa 3: faça uma estimativa, g , na raiz quadrada de X
O método iterativo começa com uma suposição, g , pela raiz quadrada de x .
27 está próximo de 25, que tem uma raiz quadrada de 5. Escolheremos g = 5, mas acontece que qualquer número pode ser usado como primeira estimativa.
Etapa 4: calcular g 2
Simplesmente calculamos o quadrado de g .
g 2 = 5 2 = 25.
Etapa 5: Parar ou continuar?
Se g 2 estiver dentro da faixa de respostas aceitáveis, pare. A resposta é g .
Caso contrário, continuar substituindo g com a média de g e X / g :
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Esta seta apontando para a esquerda significa que substituímos os valores atuais de X e g no lado direito e calculamos um número. Consideramos esse número como o novo g . A seta nos diz para calcular o lado direito e atribuí-lo como o novo valor para g no lado esquerdo. Se g fosse a resposta exata, então g e X / g seriam iguais. A média seria apenas g . No entanto, se g ainda não é a resposta, tirar a média de g com X / g nos aproxima da resposta. Depois de atualizar g, voltamos ao PASSO 4.
Continuamos fazendo este loop do PASSO 4 e PASSO 5 até obter um g 2 que está dentro do intervalo aceitável.
Voltando ao nosso método, quadrado a suposição de 5 e tenho 25. No entanto, 25 não está dentro do 26,9973 e 27,0027 por isso continuamos substituindo g com a média de g e X / g :
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Os detalhes do cálculo do lado direito:
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O lado direito calcula para 5,2 e este se torna o novo valor para g .
Voltando para a Etapa 4, calcule g 2 = 5,2 2 = 27,04.
Ainda estamos fora do intervalo de 26.9973 a 27.0027, então, novamente, atualizamos g :
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Calculando o lado direito:
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O novo g é calculado para 5,19615… e g 2 = 26,99997… que está na faixa desejada.
Assim, paramos e a resposta é 5,19615 …
Na verdade, se arredondarmos essa resposta para 4 algarismos significativos, ainda estaremos dentro do intervalo desejado. Ou seja, 5,19615 … arredondado para 4 algarismos significativos é 5,196 e 5,196 2 = 26,9984 … que é maior do que 26,9973, mas menor que 27,0027. A propósito, 3 algarismos significativos ou menos para este g não irão satisfazer a precisão desejada.
A resposta final para a raiz quadrada de 27
Com uma precisão de pelo menos 0,01%, a raiz quadrada de 27 é 5,196.
Aplicação: Encontrando a raiz quadrada de 2
Um tipo de média encontrada em eletrônica e estatística é chamada de média quadrática média (rms). Para alguns tipos de formas de onda, o valor rms é o valor de pico dividido pela raiz quadrada de 2. Vamos usar o método da raiz quadrada para encontrar a raiz quadrada de 2.
Etapa 1: Decida sobre a precisão desejada da resposta.
Que tal uma precisão de 0,001%?
Etapa 2: calcule o intervalo de respostas aceitáveis.
0,001% de 2 é 0,00001 (2) =. 00002. Assim, o intervalo de respostas aceitáveis é de 2 – 0,00002 a 2 + 0,00002. Este é um intervalo de 1.99998 a 2.00002
Etapa 3: faça uma estimativa, g , na raiz quadrada de X
Podemos tentar g = 1.
Etapa 4: calcular g 2
g 2 = (1) 2 = 1
Etapa 5: Parar ou continuar?
g 2 = 1 não está dentro do intervalo de 1.99998 a 2.00002, então atualizamos g :
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Agora estamos na etapa 4: etapa 5 loop.
Verificando g 2 = (1,5) 2 = 2,25 ainda não estamos dentro do intervalo.
Atualizando g novamente:
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Isso dá g 2 = (1,416666…) 2 = 2,00694 … Estamos mais perto, mas precisamos atualizar novamente:
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Com este valor, g 2 = (1,41421568…) 2 = 2,000006 … Ótimo!
A raiz quadrada de 2 é 1,41421568… com pelo menos uma precisão de 0,001%.
Se verificarmos os algarismos significativos nesta resposta, veremos trabalhos de 6 algarismos significativos. Ou seja, 1,41421568… arredondado para 6 algarismos significativos é 1,41422 e 1,41422 ao quadrado é 2,0000182… que é maior que 1,99998 e menor que 2,00002.