Cartões de saque e probabilidades dependentes
Calcular probabilidades com jogos de cartas pode ser bastante complicado dependendo do jogo e da quantidade de jogadores. Neste vídeo, vamos simplificar os jogos para facilitar o cálculo.
Suponha que você tire duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas, qual é a probabilidade de que sejam ambos ases?
Caso você não tenha certeza, um baralho de cartas padrão tem 4 naipes chamados ouros, copas, paus e espadas. Assim, existem 13 cartas de cada naipe numeradas de 2 a 10 e depois as cartas com figuras de Valete, Rainha e Rei. A carta final, Ás, também é considerada 1.
Então, estamos procurando dois ases. Mesmo que duas cartas sejam distribuídas, para calcular a probabilidade, elas devem ser consideradas como duas cartas sendo distribuídas uma após a outra. Vamos chamá-los de cartão 1 e cartão 2.
Visto que há 4 ases no pacote e 52 cartas, a probabilidade de que a carta 1 seja um ás é de 4 em 52. Supondo que não substituamos esta carta, agora restam 51 cartas no pacote e apenas três ases restantes. Assim, a probabilidade de que a carta 2 seja um Ás é 3 de 51. Quando as probabilidades mudam assim de um evento para outro, nós os chamamos de eventos dependentes.
Para calcular a probabilidade final, multiplicamos as probabilidades acima, pois queremos um Ás e um Ás. Portanto, a probabilidade final de obter dois Ases ao receber duas cartas de um baralho padrão de 52 é:
4 de 52 multiplicado por 3 de 51, o que é igual a 12 de 2.652, o que simplifica para 1 de 221, ou cerca de 0,0045.
Portanto, há 0,45% de chance de conseguir dois Ases.
Agora vejamos algo um pouco mais complicado, como o jogo de blackjack.
Blackjack
James quer aprender como ganhar no jogo de blackjack . Outro nome para este jogo é 21. A ideia é chegar o mais próximo de 21 pontos com a soma das cartas dadas a você em um baralho padrão de 52 cartas.
No blackjack, ou 21, cada carta vale a mesma quantidade de pontos que o número mostrado na face da carta. No entanto, as cartas com figuras, Valete, Rainha e Rei, valem 10 pontos cada, e os Ases valem 1 ou 11 pontos, dependendo do que você precisa para fazer a soma o mais próximo possível de 21.
As regras completas do blackjack em um cassino são mais complicadas, mas vamos examinar um jogo simples para entender como funcionam as probabilidades.
James recebe duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas. Vamos supor que ele seja a única pessoa jogando este jogo. As regras são: Ele deve fazer uma aposta de $ 5 para jogar. Se ele receber um Ás e uma carta com uma figura ou um Ás e um Dez, ele terá uma soma de 21, que é chamada de blackjack! E para a combinação de blackjack, ele ganha $ 10. Mas observe que seu ganho é de apenas $ 5, já que ele pagou $ 5 para jogar.
E, para qualquer outra coisa, ele perde sua aposta de $ 5!
Após cada jogo, as cartas são substituídas e o pacote reorganizado. Se James continuar a jogar este jogo, o que ele pode esperar ganhar ou perder no longo prazo?
Para calcular o valor esperado deste jogo, primeiro precisamos entender como as cartas funcionam e encontrar a probabilidade de obter um Ás e uma carta com a figura ou Dez.
Há dois cenários a serem considerados: ou Tiago obtém o Ás como a carta 1 e, em seguida, ele obtém a carta com a figura ou o Dez como a carta 2, ou recebe a carta com a figura ou o Dez primeiro como a carta 1 e depois o Ás como a carta 2.
Qualquer uma dessas combinações dá a James a mão vencedora. Então, qual é a probabilidade de obter essa combinação vencedora?
Vejamos o cenário de obter o Ás primeiro como a carta 1 e a figura ou dez como a carta 2. Como existem 4 naipes e, portanto, quatro Ases no pacote para começar, a probabilidade de obter um Ás como a primeira carta é 4/52.
A próxima carta tem que ser uma carta de figura ou um Dez. Quantas figuras existem no pacote? Uma vez que existem 4 naipes e 3 cartas com figuras em cada naipe, há um total de 4 x 3 = 12 cartas com figuras no pacote. E há quatro dezenas no pacote. Portanto, temos 12 + 4 = 16 cartas para escolher, de quantas ainda faltam? O tamanho do pacote mudou desde que retiramos o cartão 1! Existem agora apenas 51 cartas no pacote. E então a probabilidade de obter uma carta com a figura ou um Dez como a carta 2 é 16 de 51. Esses são chamados de eventos dependentes, pois o primeiro resultado afetou o segundo resultado. Os eventos dependentes são dependentes uns dos outros, pois o resultado de um afeta o resultado do outro.
Portanto, a probabilidade de obter um Ás como a carta 1 e uma figura ou um Dez como a carta 2 é:
4/52 multiplicado por 16/51, que é igual a 16/663 quando simplificado.
Observe, nós multiplicamos as frações porque queremos a probabilidade de um evento E outro evento. Em cálculos de probabilidade, AND é uma mensagem a multiplicar.
E quanto à probabilidade de obter a carta de figura ou Dez primeiro e depois o Ás? Bem, se examinarmos mais de perto, essa probabilidade será a mesma, embora os números estejam invertidos. Isso é mostrado na tabela preenchida abaixo.
A probabilidade de obter a carta da face ou Dez como a carta 1 é 16/52 e então a probabilidade de obter o Ás como a carta 2 é 4/51. Multiplicando-os, obtemos 64/2652 que simplifica para 16/663.
Devemos considerar os dois cenários, pois ambos são possíveis. Uma vez que um ou outro ganhará US $ 5 e OR em probabilidade é uma indicação a ser adicionada, a probabilidade de obter um Ás e uma carta com a figura ou um Dez em qualquer ordem quando recebemos duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas é 16/663 + 16/663, que é igual a 32/663, ou cerca de 0,048. Em outras palavras, quando James recebe duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas, supondo que nenhuma outra carta tenha sido pega, ele obterá a combinação de um Ás e uma carta com a figura ou um Dez em 4,8% das vezes!
E isso significa que ele não obterá essa combinação vencedora 100 – 4,8% das vezes, o que é cerca de 95,2%! Como probabilidade, isso é 0,952. Observe que mudamos do uso de frações para decimais. Isso é perfeitamente normal, desde que não giremos muito.
E quanto ao valor esperado do jogo?
Vamos lembrar que James ganha $ 5 pela combinação vencedora de Ás e uma carta de figura ou Dez, mas perde $ 5 por qualquer outra coisa. Para calcular o valor esperado, multiplicamos os valores de cada cenário por sua probabilidade. Então nós temos
$ 5 * 0,048 = 0,24
Mais
– $ 5 * 0,952 = -4,76.
Portanto, James pode esperar um ganho de 0,24 menos 4,76, o que é igual a $ 4,52 negativos. Em outras palavras, James espera uma perda de cerca de $ 4,52 toda vez que compra duas cartas! Isso está resumido na tabela abaixo.
| Blackjack | Valor de X | Probabilidade de XP (X) | X vezes P (X) |
|---|---|---|---|
| 21 | + $ 5 | 0,048 | 0,24 |
| Não 21 | – $ 5 | 0,952 | -4,76 |
| Valor esperado | – $ 4,52 |
Resumo da lição
Neste vídeo, vimos probabilidades envolvendo jogos de cartas. Como na maioria dos jogos as cartas são distribuídas e não substituídas, as probabilidades calculadas foram exemplos de eventos dependentes , onde o resultado de um evento, neste caso uma carta, afeta o resultado de outro evento, ou a próxima carta.
Para calcular essas probabilidades, separamos cada carta como um evento. Por exemplo, ao distribuir duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas, a probabilidade de obter dois Ases foi calculada como 4 de 52 para o primeiro Ás multiplicado por 3 de 51 para o segundo Ás. Usando esse método, calculamos a probabilidade de obter 21 no jogo de blackjack. Dividimos isso obtendo um Ás primeiro e depois uma carta de face ou Dez OU obtendo uma carta de face ou Dez primeiro e depois o Ás. Como havia várias maneiras de obter essa combinação, tivemos que considerar cada opção e, em seguida, adicionar as probabilidades. Finalmente, usamos a probabilidade para calcular o valor esperado para um jogo de blackjack.
Resultados de Aprendizagem
Após o término desta lição, você será capaz de:
- Lembre-se de como calcular a probabilidade de eventos dependentes
- Lembre-se das regras e das combinações vencedoras do blackjack
- Calcule a probabilidade de ganhar um jogo de blackjack