Definição de um Bissetor Perpendicular
Como pode um arqueólogo determinar o tamanho de uma placa se apenas um pedaço dela foi encontrado? Como um paisagista pode determinar a localização do sprinkler para o uso mais eficaz da água? Acontece que uma única linha, chamada bissetriz perpendicular, pode ser muito útil em ambos os problemas.
A bissetriz perpendicular do segmento de linha AB é uma linha que faz duas coisas:
- Corta o segmento de linha AB em duas partes iguais ou divide-o ao meio
- Faz um ângulo reto com o segmento de linha AB (é perpendicular)
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Uma propriedade importante é que cada ponto na bissetriz perpendicular está à mesma distância do ponto A e do ponto B.
Criando um Bissetor Perpendicular
Embora você possa criar facilmente uma bissetriz perpendicular usando software de geometria, para fazê-lo no papel, tudo que você precisa é uma régua e uma bússola. Primeiro, desenhe seu segmento de linha, AB. Em seguida, use sua bússola para criar um círculo que tem o ponto A como seu centro e passa pelo ponto B. Depois de desenhar esse círculo, desenhe um segundo círculo que tem o ponto B no centro e passa pelo ponto A. Os dois círculos se cruzarão em dois locais, conforme mostrado na imagem. Uma linha desenhada através dos dois pontos de intersecção é a bissetriz perpendicular do segmento de linha.
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Aplicações Matemáticas
A maioria das aplicações da bissetriz perpendicular são teoremas, provas e construções de geometria. Por exemplo, você pode usar uma bissetriz perpendicular para construir um triângulo que tem dois lados de comprimento igual , conhecido como triângulo isósceles. Se você construir a bissetriz perpendicular do segmento de reta AB, cada ponto na bissetriz perpendicular terá a mesma distância do ponto A e do ponto B. Para construir seu triângulo isósceles, você pode começar a partir de qualquer ponto na bissetriz perpendicular e traçar uma linha segmentos para ponto A e ponto B. Os dois segmentos de linha que você acabou de desenhar são garantidoster o mesmo comprimento! Além disso, o fato de uma determinada linha ser uma bissetriz perpendicular de um lado de um triângulo e passar pelo vértice oposto é a prova de que o triângulo é isósceles.
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Você também pode usar a bissetriz perpendicular para encontrar o circuncentro de um triângulo . Esse ponto é o centro de um círculo que passa por todos os três cantos, ou vértices, de um triângulo. Para encontrar este ponto, você construirá três bissetores perpendiculares, uma para cada lado do triângulo. O ponto onde todas as três bissetoras perpendiculares se cruzam é chamado de circuncentro. Usando este ponto central, podemos desenhar um círculo que passa por todos os três vértices.
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Bissetores perpendiculares também são úteis para encontrar o centro de um círculo . Se tivermos três pontos no círculo, ponto A, ponto B e ponto C, podemos desenhar dois segmentos de linha, AB e AC. As bissetoras perpendiculares desses dois segmentos de linha sempre se cruzarão no centro do círculo.
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Exemplos do mundo real
Instalando um sistema de sprinklers
Se um paisagista está instalando um sistema de irrigação, ele deseja regar a grama, mas não o asfalto ou cascalho ao redor. Para lotes triangulares, encontrar o circuncentro pode ajudar o paisagista a decidir se apenas um aspersor será uma escolha eficaz. Em alguns casos, um único sprinkler pode regar todo o lote e não desperdiça água fora do lote. Em outros casos, o único sprinkler no centro do círculo regará todo o lote, mas muita água será desperdiçada fora do lote. O paisagista e o cliente trabalharão juntos para determinar a melhor solução.
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Mas, se o lote tiver a forma de um triângulo equilátero com três lados iguais, o lote pode ser regado com um único aspersor com o mínimo de desperdício de água. A imagem abaixo mostra como um aspersor pode ser usado para regar muito no formato de um triângulo equilátero e com menos desperdício de água.
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Qual o tamanho do prato?
Quando os arqueólogos encontram peças de cerâmica em um local de escavação, a bissetriz perpendicular pode ajudá-los a reconstruir a aparência das placas originais. Se um arqueólogo encontrar várias peças do que parece ser a parte externa de uma única placa, ele pode usar o método descrito para encontrar o diâmetro da placa usando a borda externa. Se eles repetirem esse processo para todas as peças, o arqueólogo pode determinar se todas as peças se encaixam para formar uma única placa, ou se realmente vêm de placas múltiplas.
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Resumo da lição
A bissetriz perpendicular é uma linha que divide um segmento de linha em duas partes iguais. Também faz um ângulo reto com o segmento de linha. Cada ponto na bissetriz perpendicular está à mesma distância de cada um dos pontos finais do segmento de linha original. Essas propriedades tornam a bissetriz perpendicular útil para desenhar triângulos isósceles, para encontrar o centro de um círculo e para encontrar o centro de um círculo que contém todos os três vértices de um determinado triângulo, chamado circuncentro de um triângulo.
Propriedades de um bissetor perpendicular
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| Bissetor Perpendicular |
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| * Divide um segmento de linha em duas partes iguais * Forma um ângulo de 90 graus com o segmento de linha * Cada ponto na bissetriz perpendicular está à mesma distância de cada ponto final do segmento de linha |
Resultados de Aprendizagem
Quando terminar, você deverá ser capaz de:
- Explique o que é uma bissetriz perpendicular
- Discuta como encontrar a bissetriz perpendicular de um segmento de linha
- Liste algumas aplicações do mundo real para bissetores perpendiculares