Diferenças de quadrados
Você já teve que encontrar a diferença entre duas coisas? Por exemplo, encontre a diferença entre Whiskers, o gato, e Fido, o cachorro. Hmmm … diferentes famílias de animais: felinos, caninos. Ainda assim, a maioria das coisas não é completamente diferente. Ambos os animais têm um passatempo comum: dormir … Em matemática, ‘diferente’ e ‘comum’ podem ser como ‘menos’ e ‘mais’, e podemos usar ambos para encontrar a diferença.
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E se, em vez disso, estivermos tentando encontrar a diferença para um tipo especial de binômio , uma expressão matemática com dois termos? Este binômio especial é formado pela diferença de dois quadrados, como a ao quadrado eb ao quadrado. Se o reconhecermos, podemos usar a fórmula da diferença de quadrados : ( a 2 – b 2 ) = ( a – b ) ( a + b ). A parte negativa é a – be a parte positiva é a + b . Vamos explorar como essa fórmula funciona enquanto Whiskers e Fido dormem.
Usando a Fórmula
Primeiro, aqui estão algumas perguntas: o que é 8 ao quadrado? Resposta: 8 2 é 64. Ok, que tal 6 ao quadrado? Resposta: 6 2 é 36. Você vê como 64 – 36 é igual a 8 2 – 6 2 ?
E quanto à fórmula ( a 2 – b 2 ) = ( a – b ) ( a + b )? Você reconhece 8 como um e 6 como o b ?
Vamos usar a fórmula da diferença dos quadrados para 8 e 6:
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Nada demais! Poderíamos facilmente ter subtraído 36 de 64 para obter a mesma resposta. Mas e se tivéssemos algo como 55 2 – 45 2 ? O caminho curto para a resposta é reconhecer a diferença de quadrados e usar a fórmula:
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Você já está impressionado? Não tenho certeza se Whiskers e Fido estão impressionados porque ainda estão dormindo.
Enquanto esperamos que eles acordem, vamos explorar por que essa fórmula funciona. Se expandirmos ( a – b ) ( a + b ), obtemos a ( a + b ) – b ( a + b ) que é a 2 + ab – ba – b 2 . O ab – ba cancelado, deixando-nos com a 2 – b 2 . E é por isso que a fórmula funciona!
A chave para usar a fórmula é localizar uma diferença de dois termos, onde os termos são quadrados. Vamos ver como somos bons nisso. Qual dos binômios a seguir poderia ser fatorado (algo vezes algo) usando a fórmula da diferença de quadrados?
• x 2 – 9
• x 2 + 36
• 11 3 – 7 3
O primeiro é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado como ( x – 3) ( x + 3).
No segundo exemplo, temos quadrados, mas não a diferença, então não usaremos a fórmula. No terceiro exemplo, temos a diferença, mas não os termos quadrados, portanto, também não usaremos a fórmula da diferença dos quadrados aqui. (A propósito, também existe uma fórmula para a diferença dos cubos.)
Levando a fórmula adiante
E se tivéssemos 25 x 4 – 16 y 2 ? Há uma diferença, mas estamos lidando com quadrados?
Sim! Quadrar 5 x 2 nos dá 25 x 4 . Quadrar 4 anos nos dá 16 anos 2 . Usando a fórmula: 25 x 4 – 16 y 2 = (5 x 2 – 4 y ) (5 x 2 + 4 y ). Percorremos um longo caminho desde a aparência simples a 2 – b 2 = ( a – b ) ( a + b ).
Que tal 32 x 4 – 2? Isso pode ser uma diferença de quadrados, mas temos que fazer algumas fatorações. Fazemos isso encontrando o GCF (maior fator comum), ou o maior número que divide os dois números.
O GCF de 32 e 2 é 2. Portanto, 32 x 4 – 2 torna-se 2 (16 x 4 – 1). Agora temos dois quadrados dentro dos parênteses (lembre-se de que 1 é um quadrado porque 1 * 1 = 1). Quando usamos a fórmula, isso se torna 2 (4 x 2 – 1) (4 x 2 + 1).
Mas podemos ir ainda mais longe! O (4 x 2 – 1) também é uma diferença de quadrados. Usar a fórmula transforma isso em (2 x – 1) (2 x + 1). Nossa resposta completa: 32 x 4 – 2 = 2 (2 x – 1) (2 x + 1) (4 x 2 + 1). Por enquanto, vamos até lá porque Whiskers e Fido acordaram e, apesar das diferenças, os dois querem comer.
Resumo da lição
Quando temos um binômio (uma expressão matemática com dois termos) que é a diferença de dois termos ao quadrado, podemos fatorar o binomial como o produto de uma diferença e uma soma. Isso é chamado de fórmula da diferença de quadrados e é escrito como a 2 – b 2 = ( a – b ) ( a + b ).
Reconhecer quando você pode usar a fórmula pode ser a parte mais complicada. Às vezes, você pode fatorar o GCF (maior fator comum) em um binômio, então pode ser uma diferença de quadrados. A partir daí, você pode usar a fórmula como faz normalmente.