Definição de um Binômio Quadrado Perfeito
Um binômio quadrado perfeito é um trinômio que, quando fatorado, dá a você o quadrado de um binômio. Por exemplo, o trinômio x ^ 2 + 2 xy + y ^ 2 é um binômio quadrado perfeito porque é fatorado para ( x + y ) ^ 2. Você percebe como o trinômio na forma fatorada é o quadrado de um binômio? Além disso, observe o primeiro e o último termo do trinômio. Você percebe algo interessante sobre eles? Ambos os termos são quadrados perfeitos. Essa é uma indicação de que o trinômio com o qual você está lidando pode ser um binômio quadrado perfeito.
Aqui estão mais alguns exemplos de trinômios de casos especiais que são binômios quadrados perfeitos.
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Você vê um padrão nesses trinômios e suas respectivas formas fatoradas? Você vê como esses trinômios são especiais? Isso é o que os diferencia dos outros trinômios. Na verdade, torna-se mais fácil fatorá-los se você souber que eles são um binômio quadrado perfeito antes de começar a fatorar.
Uma maneira fácil de verificar se um trinômio é um binômio quadrado perfeito é examinar o primeiro e o terceiro termos para ver se eles são quadrados perfeitos. Se estiverem, verifique o segundo termo dividindo-o por 2. O resultado deve ser os dois quadrados perfeitos multiplicados um pelo outro.
Por exemplo, o trinômio x ^ 2 + 2 xy + y ^ 2 tem quadrados perfeitos para o primeiro e o terceiro termos. O primeiro termo é x ^ 2 e o terceiro termo é y ^ 2. Multiplique os dois quadrados e obterá xy . Quando você divide o termo do meio por 2, deve obter xy .
Observe o terceiro trinômio na lista e verá que o termo do meio é negativo. O termo do meio pode ser positivo ou negativo. O sinal negativo determina o sinal da forma fatorada.
Como fatorar binômios quadrados perfeitos
Depois de identificar o trinômio como um binômio quadrado perfeito, torna-se muito fácil fatorá-lo. Lembre-se dos padrões que você viu nos exemplos. O que você notou sobre as formas fatoradas dos trinômios? Eles tinham os quadrados como primeiro e segundo termos. Portanto, a fatoração de um binômio quadrado perfeito requer que você conheça sua tabela de quadrados (1×1 = 1; 2×2 = 4; 3×3 = 9; etc.). Se você ainda não os memorizou, comece a revisá-los agora.
Observe este exemplo de fatoração e veja se você pode seguir as etapas.
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Na primeira etapa, o primeiro e o terceiro termos do trinômio são reescritos como quadrados perfeitos. Na próxima etapa, o termo do meio é reescrito como a adição de dois termos idênticos. Você pode dividir o termo do meio por dois para obter os dois termos idênticos. Esses dois termos são identificados como a multiplicação dos quadrados perfeitos. Seus dois quadrados perfeitos são 2 x e 2 y . Quando você os multiplica, obtém 4 xy .
Como o trinômio se divide dessa forma, você sabe que este é um binômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é o quadrado de um binômio onde o primeiro e o último termos são seus quadrados perfeitos do trinômio. Lembre-se, você mantém o sinal do meio termo em sua forma fatorada. Se o meio for negativo, sua forma fatorada terá que ser um menos.
Experimente mais um exemplo. Veja se você consegue resolvê-lo antes de seguirmos as etapas.
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Neste exemplo, o termo do meio é negativo, mas ainda pode ser dividido em dois termos idênticos, que são os quadrados perfeitos multiplicados um pelo outro. Você vê como a forma fatorada retém o sinal negativo?
Fórmula Útil
Definitivamente, há um padrão para aperfeiçoar binômios quadrados. Como os matemáticos gostam de padrões e os colocam em fórmulas, existe uma fórmula para binômios quadrados perfeitos. É isto:
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Você pode usar esta fórmula para multiplicar o quadrado binomial ou para fatorar trinômios que são binômios quadrados perfeitos.
Esta fórmula também pode ser escrita para um termo médio negativo como este:
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Resumo da lição
Um binômio quadrado perfeito é um trinômio que, quando fatorado, dá a você o quadrado de um binômio. Nem todos os trinômios são binômios quadrados perfeitos. Somente se o trinômio atender a certos critérios, ele poderá receber um rótulo especial. Os critérios incluem ter quadrados perfeitos para o primeiro e terceiro termos, e o termo do meio, quando dividido por 2, deve ser igual aos quadrados perfeitos multiplicados juntos. Então, e somente então, o trinômio é um binômio quadrado perfeito. Como os matemáticos gostam de padrões e os colocam em fórmulas, existe uma fórmula para binômios quadrados perfeitos. É o seguinte: ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2.