O que é um corpo estendido?
Em outra lição, apresentamos a Lei da Gravitação Universal de Newton . Esta lei diz que cada corpo no universo atrai todos os outros corpos com uma força que é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. É representado por esta equação: F g = GMm / r ^ 2. Isso significa que se você dobrar a massa de um objeto, você dobra a força gravitacional, e se você dobrar a distância entre dois objetos, você reduz a força para um quarto do que era.
Mas essa lei, como todas as leis da física, faz certas suposições. A maior delas é que um corpo gravitacional pode ser tratado como uma massa pontual, ou em outras palavras, pode-se dizer que a força da gravidade atua em um ponto específico, geralmente no centro do objeto. Acontece que se você está olhando para objetos esféricos, como planetas ou estrelas, essa suposição é ótima. Funciona muito bem. Mas nem todos os objetos são esféricos ou quase esféricos. O que acontece quando a forma é completamente aleatória?
Bem, nesse caso, o objeto é considerado um ‘objeto estendido’. De repente, a lei da gravitação não funciona tão bem e as coisas ficam muito mais complicadas. Nesta lição, vamos explorar um exemplo particular de um objeto estendido e usar o cálculo para descobrir uma equação que funcione.
Equação de atração gravitacional
Ao analisar um objeto estendido, você precisa usar alguns cálculos. A equação de gravitação final que você obterá variará dependendo da forma do objeto. A forma que veremos hoje é uma barra paralela uniforme – um objeto longo e fino em forma de barra. E veremos a força gravitacional entre essa barra e um ponto de massa regular, M , que por acaso está próximo.
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Vamos colocar a barra ao longo de um eixo e dizer que a barra começa na coordenada ( a , 0) e termina na coordenada ( L + a , 0), onde L é o comprimento da barra. A maneira como resolvemos esse problema é olhando para a força da gravidade criada por um minúsculo elemento da barra, que chamaremos de dm (uma massa infinitesimalmente pequena). Somando todas as forças de todos os minúsculos elementos de massa que compõem a barra usando o cálculo, podemos calcular a força total.
A equação regular para uma massa pontual, a Lei da Gravitação Universal de Newton, é semelhante a esta.
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Aqui, G é a constante gravitacional do universo, que é sempre 6,67 * 10 ^ -11; F é a força da gravidade entre os objetos, medida em newtons; M é a massa da massa do ponto à esquerda do diagrama; e r é o raio, ou a distância, você está longe de massa, M . Esta equação contém m , que normalmente seria um segundo ponto de massa. Mas desta vez temos uma barra, então vamos substituir essa massa menor, m , por nosso minúsculo elemento de massa, dm . Isso ocorre porque cada minúsculo elemento de massa, afinal, age como uma massa pontual.
O dm torna esta uma equação diferencial. Portanto, esta equação agora diz que F é igual à integral de GM vezes 1 sobre r ^ 2, dm . Mas quais são os limites dessa integral? Bem, estamos olhando para os elementos de massa de um lado da barra para o outro: de um raio de a a um raio de L + a – então, esses são nossos limites.
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Agora precisamos resolver essa integral. O único problema é que temos uma equação em termos do raio r , e somos solicitados a integrar em relação am . Isso não vai funcionar. Eles precisam ser a mesma variável. Portanto, o truque que podemos usar aqui é definir um novo termo, lambda, que é a massa por unidade de comprimento, ou massa por unidade de raio, se desejar. É a massa dividida pelo raio r , ou em termos de cálculo, é dm sobre dr . Reorganizando isso para dm , vemos que dm é igual a lambda dr . Podemos substituir isso em nossa integral, e agora temos uma integral que pode ser resolvida.
A integral de 1 sobre r ‘-quadrado, em relação a r , resulta como negativa 1 sobre r . Substitua em nossos limites de L + a e a , e simplifique um pouco, e teremos nossa equação para a atração gravitacional da barra, que se parece com isto:
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Finalmente, para simplificar um pouco, podemos nos lembrar do que lambda significa. Lambda é a massa por unidade de comprimento. Assim, lambda vezes L é a massa por unidade de comprimento vezes o comprimento da barra. Então, essa é apenas a massa da barra, m . Então, agora substituindo isso em, temos nossa equação final: F = GMm / a ( L + a ).
A força de gravidade entre a barra e a massa do ponto M é igual a G vezes M vezes m dividido por um suporte L mais a . Apenas como um lembrete, M é a massa da massa do ponto à esquerda do diagrama, m é a massa da barra, a é a distância da massa do ponto até o lado próximo da barra e L é o comprimento da barra .
Exemplo de problema
Vejamos um exemplo de como usar a equação: uma barra de metal que sobrou de um experimento concluído no espaço está flutuando à distância do sol. Suponha que o sol pode ser tratado como uma massa pontual. Se a massa da barra de metal é 100.000 quilogramas, a massa do sol é 2 * 10 ^ 30 quilogramas, a distância do sol até o lado mais próximo da barra é de 500.000 metros e o comprimento da barra é de 500 metros, o que é a força da gravidade entre o sol e a barra?
Em primeiro lugar, devemos escrever o que sabemos. A massa da barra de metal, m , é 100.000 quilogramas; a massa do sol, M , é 2 * 10 ^ 30 quilogramas; a distância até o lado próximo da barra, a , é de 500.000 metros; e o comprimento da barra, L , é de 500 metros. G , como sempre, é 6,67 * 10 ^ -11, e estamos pediu para encontrar a força da gravidade, F .
Portanto, tudo o que precisamos fazer é inserir os números e resolver. Digite tudo em uma calculadora e teremos uma força de gravidade de 53.306.693.306.693 newtons! Ou, se preferir, 5,3 * 10 ^ 13 newtons. Isso é um pouco mais limpo. Para ser justo, essa força enorme tem menos a ver com a barra e mais com o tamanho do sol. Mas o importante é que você saiba usar a equação e agora sabe!
Resumo da lição
A Lei da Gravitação Universal de Newton diz que todo corpo no universo atrai todos os outros corpos com uma força que é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. É representado por esta equação: F g = GMm / r ^ 2. Mas essa lei faz certas suposições, incluindo que um corpo gravitacional pode ser tratado como uma massa pontual. Isso funciona bem para objetos esféricos, mas se a forma não for esférica, precisamos de um tratamento mais complexo. Tal objeto é considerado um ‘objeto estendido’. Para tal objeto, precisamos usar cálculo para descobrir uma equação para descrever a força da gravidade. Essa equação irá variar dependendo da forma do objeto.
Quando você usa o cálculo para descobrir a força entre a massa de um ponto e uma barra longa e fina, esta é a equação que surge: F = GMm / a ( L + a ). Diz que a força da gravidade entre a barra e a massa do ponto M é igual a G vezes M vezes m dividido por um colchete L mais a . Nesta equação, M é a massa da massa do ponto à esquerda do diagrama, m é a massa da barra, a é a distância da massa do ponto ao lado mais próximo da barra e L é o comprimento da barra.
Resultados de Aprendizagem
Você poderá fazer o seguinte após esta lição:
- Descreva a Lei da Gravitação Universal de Newton e identifique sua equação
- Definir objeto estendido
- Lembre-se da equação para a força entre uma massa pontual e uma barra longa e fina
- Explique como o cálculo é usado para chegar a esta equação