Correndo para a linha de chegada
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Existe um velho paradoxo que diz que para chegar a qualquer linha de chegada, você primeiro precisa chegar na metade do caminho, não importa onde você comece. Se você está participando de uma corrida, primeiro precisa chegar à metade do caminho para chegar ao final. Mas, quando você está na metade do caminho para o final, você tem que chegar na metade do que falta para terminar, de modo que você está três quartos do caminho para o final. Não importa o quão perto você esteja da linha de chegada, você só pode chegar na metade do caminho de onde você está. Eventualmente, isso se torna muito frustrante. Você deve se perguntar: a linha de chegada está fora de alcance?
Assíntotas
Vamos falar um pouco sobre assíntotas . Como nossa linha de chegada que está fora de alcance, esses são lugares que você não consegue chegar. Por exemplo, se olharmos para a distância até o nosso objetivo, ou a distância até a linha de chegada, como uma função do tempo, a cada segundo chegamos a meio caminho do objetivo. Aproximamo-nos cada vez mais deste eixo x horizontal . Mas nunca chegamos bem à linha de chegada.
Matematicamente, poderíamos escrever isso como, digamos, y = 1 / x . y é a distância até a linha de chegada ex é a quantidade de tempo que passamos tentando chegar à linha de chegada. Não importa o quão grande x fique, y nunca chegará a zero. Não importa quanto tempo você continue, você não consegue chegar à linha de chegada. Você sempre estará ao lado dele. Mas se você está apenas próximo a ele, o próximo passo só pode levá-lo a meio caminho para a linha de chegada, que ainda não está lá.
Vamos dar uma olhada em um exemplo: y = x / ( x ^ 2 + 1) + 1. Vamos fazer um gráfico.
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Assíntotas horizontais
Vamos definir uma dessas assíntotas horizontais . Se y se aproxima de algum número, como y vai para N enquanto x vai para +/- infinito, então a linha y = N é uma assíntota horizontal. No caso de y = 1 / x , y está se aproximando de zero conforme x fica muito grande, conforme x vai para + infinito. Isso é como dizer que, à medida que o tempo vai para o infinito, a distância até a meta vai para zero, mas não vai chegar a zero. Você não vai realmente chegar lá.
Este gráfico se parece com um batimento cardíaco. Conforme x fica muito, muito grande, vamos para o lado direito deste gráfico. E, de fato, podemos ir muito além deste gráfico, tanto quanto você pode imaginar. Como x fica muito grande à medida que avançamos tanto quanto você pode imaginar para a direita, y vai se aproximar do valor de 1. Por outro lado, quando x fica muito, muito pequeno, conforme nos movemos para a esquerda em x , y também vai se aproximar de 1. Embora vá se aproximar de baixo, enquanto para os valores positivos de x , vai se aproximar de 1 de cima. Vejamos este lado direito com mais detalhes. Quando x é igual a 1, yé 1,5. À medida que aumento x para 5, y lentamente se aproxima de 1; é 1,19. y é 1,10 quando x é 10. Quando x é 100, y é 1,01. E, em x = 1.000, y é 1.001. Como você pode ver, à medida que x fica cada vez maior, y se aproxima de 1. Mas nunca vai realmente chegar a 1. Você não pode resolver esta equação para y = 1.
Com as assíntotas horizontais, a chave é o que acontece quando sua variável independente fica muito grande, seja grande na direção positiva ou muito grande, mas negativa.
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Assíntota vertical
Existe um segundo tipo de assíntota que vemos com frequência. É como se você estivesse tentando ir 1 milha de sua casa, mas há uma grande colina logo antes do marcador de 1 milha. Você pode tentar subir essa colina, mas ela fica cada vez mais íngreme e mais íngreme quanto mais perto você chega de 1 milha. Isso é o que chamamos de assíntota vertical .
Vemos isso no caso de y = 1 / (1- x ). À medida que nos aproximamos cada vez mais de x = 1 do lado esquerdo, y fica cada vez maior. Na verdade, y não é definido em x = 1. Se você tentar inserir x = 1 nesta equação, você terminará com y = 1/0, e isso não faz sentido. Vamos definir formalmente as assíntotas verticais. Isso é o que acontece se y vai para o infinito ou infinito negativo quando x se aproxima de algum número, então a linha x = N é uma assíntota vertical. Nós a chamamos de assíntota vertical porque é uma linha vertical.
Vejamos um exemplo. Digamos que y = 1 / (( x – 1) ( x + 2)). Em x = 1 e x = -2, y é indefinido. Mas o que acontece quando nos aproximamos muito desses valores? À medida que nos aproximamos de x = 1, vindo do lado positivo, começando em x = 1,1 e chegando perto de 1, y começa a ficar muito grande. Em x = 1,1, y é 3,23. À medida que x se aproxima de 1, digamos em 1,01, y é 33,22. Se nos aproximarmos de 1 do outro lado, digamos de 0,9 a 0,99, yfica muito, muito grande, mas negativo. O que vemos é uma assíntota vertical em 1, onde de um lado, y fica muito grande e positivo e do outro lado fica muito grande, mas negativo. Vejamos x = -2. Conforme nos aproximamos de x = -2 do lado direito, em -1,9 e -1,99, vemos que y fica muito grande, mas negativo. Se nos aproximarmos de -2 pelo lado esquerdo, como -2,1 e -2,01, vemos que y fica muito grande e positivo. Novamente, temos outra assíntota vertical em -2.
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Em ambos os exemplos, tivemos assíntotas verticais em que nossa equação era indefinida, especificamente onde estávamos dividindo por zero . Esta é a chave quando você está procurando assíntotas verticais.
Resumo da lição
Vamos revisar. Assíntotas horizontais são onde y se aproxima de algum número conforme x vai para o infinito positivo ou negativo. Isso é parecido com a nossa corrida, onde só podemos ir na metade do caminho para a linha de chegada a cada segundo. Aqui, por mais que fôssemos, conforme o tempo foi para o infinito, nossa distância até o final não chegaria a zero, mas chegaria muito perto. Está se aproximando de zero conforme o tempo vai para o infinito.
Uma assíntota vertical é onde y vai para o infinito positivo ou negativo conforme x se aproxima de algum número. É como se estivéssemos nos aproximando daquele marcador de 1 milha, tínhamos aquela colina que ficava cada vez mais íngreme e mais íngreme. Conforme nos aproximamos do marcador de 1 milha, y foi para o infinito.