Revisão rápida de derivados
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A derivada de uma função é a taxa de variação dessa função. Portanto, para algo como y = f (x) , a derivada é como y está mudando em relação a x . Formalmente, escrevemos isso como y` = dy / dx , e isso é igual ao limite, pois delta x vai para zero de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x. Agora, alguns derivados são simplesmente difíceis. Então, podemos usar o que sabemos sobre as propriedades dos limites – o que sabemos sobre esta parte – para tornar mais fácil encontrar a derivada? Bem, para limites, sabemos ‘dividir e conquistar’. As duas grandes propriedades de dividir e conquistar que podemos usar aqui são propriedades para constantes e propriedades de tipo distributivo.
Regra Constante de Derivados
Vamos dar uma olhada nisso. A primeira propriedade que vamos examinar diz respeito às constantes . Vamos fazer isso com um exemplo. Digamos que f (x) = 60 x ^ 2. A derivada de f (x) é f` (x) , e vou escrever isso como d / dx de 60 x ^ 2. É assim que 60 x ^ 2 está mudando em relação a x . Formalmente, este é o limite, pois delta x vai para zero de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x . Vamos inserir f (x) e f (x)+ delta x . Portanto, temos o limite conforme delta x vai para zero de (60 ( x + delta x ) ^ 2 – 60 x ^ 2) todos divididos por delta x . Podemos expandir isso e simplificar, eliminando os 60 x ^ 2s. Podemos dividir o topo e a base disso por delta x . O que descobrimos é que f` (x) é o limite, pois delta x vai para zero de 120 x + 60 delta x . E isso é igual a 120 x . Portanto, vamos manter isso em mente. Acabamos de descobrir, formalmente, que f` (x) = 120 x .
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Agora vamos voltar algumas etapas. Portanto, tivemos o limite quando delta x vai para zero de (60 ( x + delta x ) ^ 2 – 60 x ^ 2) todos divididos por delta x . Agora eu poderia retirar 60. Se eu retirar 60, tenho o limite, pois delta x vai para zero de 60 vezes essa fração maior. Agora eu tenho o limite de uma função – 60 – vezes outra função – this (( x + delta x ^ 2) – x ^ 2) / delta x . Eu sei que com propriedades de limites, posso dividir isso e conquistar. Posso escrever isso como o limite quando delta x vai para zero de 60 vezes o limite como delta xvai para zero dessa outra bagunça. Bem, o limite quando delta x vai para 60 é 60; é o limite de uma constante. Então posso calcular isso. Agora, o limite conforme delta x vai para zero de (( x + delta x ^ 2) – x ^ 2) todos divididos por delta x podem ser encontrados multiplicando primeiro este termo, riscando os termos e simplificando e dividindo o topo e inferior por delta x . Acho que esse limite é igual a 2 x , então a coisa toda é, novamente, 120 x , que é exatamente o que encontramos antes.
O que isso nos diz? Isso diz que se você tiver uma função como y = Cf (x) , onde C é uma constante, como 4, você pode extrair a constante. Quando você está encontrando y ‘, que está tomando a derivada ( d / dx ) de toda esta coisa ( Cf (x) ), e então você pode retirar o C . Portanto, y` = C * d / dx * f (x) . Portanto, se você tem uma função, y = Cf (x) , a derivada dessa função é y` = Cf` (x) . Esta é nossa primeira regra, para constantes.
Regra de tipo distributivo de derivados
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Nossa segunda regra é a regra do tipo distributivo . Vejamos a função y = 2 x . Vamos calcular a derivada de y = 2 x : y` é igual ao limite, pois delta x vai para zero de (2 ( x + delta x ) – 2 x ) / delta x . Se você multiplicar isso, dividir o topo e o fundo por delta x , verá que essa derivada é apenas 2. Ok, ótimo. Também poderíamos ter descoberto que, usando nossa regra constante, dizendo que y` é 2 vezes a derivada ( d / dx ) de apenas x , ed / dx de x é apenas 1. Portanto, a derivada ( dy / dx ) é apenas 2 neste caso.
A outra maneira de ver isso é y = x + x . Ainda é y = 2 x , mas não simplifiquei, se você quiser. Agora eu quero encontrar a derivada ( y` ) disso. Então, se eu calcular y` é igual ao limite, pois delta x vai para zero de x + delta x + x + delta x (isso é f ( x + delta x )) – x + x (isso é f (x) ) tudo dividido por delta x . Agora, eu poderia reescrever isso como ((x + delta x ) + ( x + delta x ) – x – x ) todos divididos por delta x . Se eu reorganizar isso apenas um pouco e mover este -x aqui, então isso é (( x + delta x ) – x + ( x + delta x ) – x ) tudo dividido por delta x . Posso usar minhas propriedades de frações aqui e dividir isso em duas frações diferentes, ambas parecidas com (( x + delta x ) – x ) / delta x .
Bem, espere um segundo! Posso usar outra propriedade de limites aqui. Este é o limite de uma função mais outra. Então eu posso dividir isso e conquistá-lo e escrever isso como o limite de delta x indo para zero dessa primeira função mais o limite de delta x indo para zero dessa outra função. Além do mais, reconheço esse limite. Este primeiro termo aqui é a derivada de x ; este é d / dx de x . Então, o que isso me diz é que para a função y = x + x , y` = d / dx de x + d / dx de x. Estou encontrando os derivados de cada um desses termos. Esta é a propriedade distributiva dos derivados. Isso significa que quando você tem termos somados, a derivada da soma é igual à derivada das partes somadas.
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Resumo da lição
Vamos recapitular. Divida e conquiste, mas apenas divida e conquiste quando você tem constantes, ou adição ou subtração. Portanto, se você tem uma função, y = Cx + x ^ 2, e deseja encontrar a derivada disso, tudo o que você precisa fazer é encontrar a derivada desse primeiro termo, que é a constante vezes a derivada de x . mais a derivada do segundo termo – d / dx de x ^ 2.