Aritmética Modular
Antes de chegarmos às regras e propriedades da aritmética modular, vamos primeiro revisar o significado do termo. A aritmética modular , ou aritmética do relógio, é algo que usamos diariamente. Em um relógio regular, como o mostrado aqui, os civis marcam o tempo de acordo com dois intervalos igualmente espaçados compostos de 12 horas, ou números inteiros. Na aritmética modular, números inteiros ou inteiros , repita em torno de um número designado conhecido como módulo.
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Em relógios e relógios tradicionais, o módulo , ou o número em que começamos novamente, é 12. Por exemplo, se são 10h e você está se encontrando com amigos quatro horas depois, provavelmente dirá que vai encontrá-los às 14h, não catorze horas. Agora, se estivéssemos trabalhando no módulo 7, começaríamos do zero. Portanto, 6 + 5 no módulo 7 seria 4, não 11.
Outra maneira de ver isso é com os restos. Quando estamos trabalhando no módulo n , então qualquer número no módulo n é igual ao resto quando esse número é dividido por n . Considere nosso exemplo do módulo 7: 6 + 5 = 11. Quando dividimos 11 pelo módulo 7, obtemos 1 com um resto de 4; portanto, 6 + 5 = 4.
Observe que, ao lidar com aritmética modular, existem muitos números que são equivalentes para um determinado módulo. Considere o número 5 no módulo 12:
- 5 + 12 = 17
- 17 + 12 = 29
- 29 + 12 = 41
Aqui, 5 é equivalente a 17, 29, 41 e assim por diante. Podemos expressar essas equivalências dizendo que os números são congruentes no módulo 12 e escrevê-los usando um sinal de igual de 3 barras, conforme mostrado aqui:
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Adição em aritmética modular
Você pode realizar muitas das mesmas operações com a matemática modular que você pode com a matemática normal. Aqui estão algumas regras para adição na aritmética modular:
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Com base nessas regras, podemos somar os números e então encontrar a soma no módulo n . Alternativamente, podemos primeiro encontrar cada um dos números no módulo n e, em seguida, somá-los. Vamos tentar trabalhar no módulo 8.
O que é (4 + 7 + 6 + 8) mod 8?
- Adicione os números entre parênteses: 4 + 7 + 6 + 8 = 25
- Para encontrar 25mod8, execute a divisão: 25/8 = 3 com um resto de 1
- Portanto, (4 + 7 + 6 + 8) mod8 é congruente com 25mod8, que é congruente com 1mod8
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Subtração em Aritmética Modular
As seguintes regras podem ser usadas para realizar a subtração na aritmética modular:
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Novamente, temos duas opções. Podemos subtrair os números primeiro e encontrar o módulo n . Ou podemos encontrar cada um dos números no módulo n primeiro e, em seguida, realizar a subtração. Neste exemplo, vamos trabalhar no módulo 5.
O que é (104 – 53) mod5?
- Subtraia os números entre parênteses: 104 – 53 = 51. Aqui, (104 – 53) mod5 é congruente com 51mod5.
- Execute a divisão: 51/5 = 10 com o resto de 1. Portanto, (104 – 53) mod5 é congruente com 1mod5.
- Alternativamente, poderíamos primeiro encontrar 104mod5 e 53mod5, ou 4mod5 e 3mod5, respectivamente, e então subtrair: 4mod5 – 3mod5 é congruente com 1mod5.
Ao lidar com a subtração, você pode acabar com um número negativo. Por exemplo, suponha que sejam 4h00 ou 16h00, e queremos saber que horas eram 11 horas atrás ou (4 – 11) mod12 = -7mod12. Para descobrir como o resultado é congruente com mod12, adicionamos múltiplos de 12 até chegarmos a um número que fica entre 0 e 11. -7 + 12 = 5
Aqui, -7mod12 é congruente com 5mod12, o que significa que foram 5h ou 11h atrás. Em geral, quando você obtém um número negativo e está trabalhando no módulo n , adicione múltiplos de n ao número negativo até obter um número entre 0 e n – 1.
Multiplicação em aritmética modular
Podemos usar as seguintes regras para realizar a multiplicação em aritmética modular:
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Aqui, podemos realizar a multiplicação e, em seguida, encontrar esse número no módulo n . Ou podemos encontrar cada número no módulo n primeiro e depois multiplicá-los. Vamos trabalhar no módulo 18.
O que é (14 * 20) mod18?
- Multiplique os números entre parênteses: 14 * 20 = 280mod18
- Execute a divisão: 280/18 = 15 com o resto de 10. Portanto, (14 * 20) mod18 é congruente com 10mod18
- Também podemos encontrar primeiro 14mod18 e 20mod18, ou 14mod18 e 2mod18, respectivamente, e depois multiplicar os resultados. Aqui, (14mod18) * (2mod18) é congruente com 28mod18. Quando dividimos 28 por 18, obtemos 1 com o resto de 10; então, (14 * 20) mod18 é congruente com 10mod18.
Resumo da lição
A aritmética modular também é chamada de aritmética do relógio porque as regras são semelhantes à maneira tradicional de ver as horas. Na aritmética modular, temos um módulo , que é o inteiro , ou número inteiro, no qual começamos de novo.
Ao adicionar, subtrair ou multiplicar no módulo n , podemos fazer uma das duas coisas:
- Podemos realizar a operação primeiro e, em seguida, encontrar esse número no módulo n , dividindo-o por n e identificando o restante
- Também podemos encontrar cada número no módulo n individualmente e, em seguida, realizar a operação nesses números
De qualquer forma, obteremos a mesma resposta. Não se esqueça desta outra regra importante: quando o resultado for um número negativo, some múltiplos do módulo até que você termine com um número entre 0 e o módulo menos 1. Essa será sua resposta.