Números complexos
Lembre-se de quando você começou a estudar. Naquela época, os únicos números com que você precisava se preocupar eram contá-los. Desde então, você aprendeu sobre números positivos, números negativos, frações e decimais.
Hoje vamos aprender sobre outro tipo de número chamado número complexo. Um número complexo combina um número real e um imaginário. Os números complexos são expressos desta forma:
a + bi
Aqui, o a e b representam números, enquanto o i identifica o número imaginário. O número sem o i é real.
Você não verá apenas números como 1, 10, -40, 11/35 e 0,35, mas também números como 4 + 8 i e 24 – 9 i . Quando você vê o i sozinho, imagine o número 1 precedendo-o, assim como quando você vê uma variável sozinha.
Plano e vetores complexos
Os números complexos podem ser representados de forma semelhante aos números regulares em uma linha numérica. A diferença é que, em vez de usar uma linha, usamos um plano complexo , um plano de coordenadas também conhecido como diagrama de Argand.
Os pontos plotados em um plano de coordenadas possuem um componente xe um componente y . Ao traçar números complexos no diagrama de Argand, substitua ox pelo número real ey pelo número imaginário. Por exemplo, ao plotar o número complexo 4 + 8 i , plote-o no ponto ( a , b ) ou (4, 8):
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O número complexo plotado pode ser convertido em um vetor desenhando uma seta da origem (0, 0) para o ponto plotado.
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Uma vez que o vetor é criado, o resultado será o argumento do número complexo.
Argumento de Números Complexos
O argumento de um número complexo é o ângulo formado pelo vetor de um número complexo e o eixo real positivo. Podemos escrever assim:
arg ( z )
Aqui, o z é o rótulo usado para o número complexo. Se houver mais de um número complexo, rotule cada um com um z e um subscrito para diferenciar entre os números. Por exemplo, rotule o primeiro número complexo z 1 e o segundo número complexo z 2 .
Para encontrar o argumento, você precisará aplicar um pouco de trigonometria. Se você desenhar um triângulo retângulo usando o vetor como hipotenusa, verá que o componente imaginário se torna o lado oposto e o componente real se torna o lado adjacente do triângulo.
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Se você está familiarizado com trigonometria, sabe que usar a função tangente pode ajudar a resolver o argumento de um número complexo. Lembre-se de que a função tangente é igual ao lado oposto do lado adjacente do triângulo.
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Configure a função tangente usando o vetor de número complexo. O número imaginário será o numerador e o número real será o denominador. Para resolver a função tangente, pegue o arco tangente de ambos os lados da equação.
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O resultado deixa o ângulo sozinho à esquerda e produz a medição do ângulo à direita.
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Aqui, o número complexo 4 + 8 i tem um argumento de 63,4 °
Componentes Negativos
As operações tangentes são bastante diretas quando o número real no número complexo é positivo. Quando o número real é negativo, a resposta da operação de tangente deve ser ajustada. Por exemplo, ao calcular o argumento do número complexo -5 + 3 i , a resposta seria negativa.
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Se você olhar para o vetor no diagrama de Argand, o ângulo deve ser positivo e maior que 90 °. No entanto, a operação tangente sempre resulta em um ângulo agudo.
Quando o número real é negativo e o número imaginário é positivo, some 180 ° (ou π radianos se estiver trabalhando em radianos). Portanto, -30,96 + 180 ° = 149,03. Este número representa com precisão o ângulo ao olhar para o vetor.
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Se o número complexo tiver um número real negativo e um número imaginário negativo, subtraia 180 ° (ou π radianos).
Resumo da lição
Vamos revisar. Um número complexo é um número que consiste em ambos um real e um número imaginário, expressa como um + bi , onde o um e b são os números e a i indica o número imaginário. O número sem o i é real.
Os números complexos são plotados no plano complexo , também conhecido como diagrama de Argand. Cada número complexo a + bi é plotado nos pontos ( a , b ) no plano complexo. Quando você desenha uma seta da origem (0, 0) para cada ponto traçado, você cria um vetor para cada número complexo.
O argumento de um número complexo é o ângulo que o vetor e o número complexo fazem com o eixo real positivo. Para calcular o argumento, use esta fórmula:
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Quando o número real no número complexo é positivo, a resposta é a medição do ângulo. Quando o número real for negativo, ajuste a resposta de acordo:
- Para um número complexo com um número real negativo e um número imaginário positivo, como -8 + 2 i , adicione 180 ° (ou π radianos) à resposta.
- Para um número complexo com um número real negativo e um número imaginário negativo, como -4 – 8 i , subtraia 180 ° (ou π radianos) da resposta.