Revisão das funções trigonométricas
Os triângulos que contêm um ângulo reto são muito especiais. Uma coisa que os torna especiais é que existem algumas relações claramente definidas entre os comprimentos dos dois lados e a hipotenusa desses triângulos. O estudo de triângulos retângulos é chamado de trigonometria. As relações especiais encontradas entre os lados de um triângulo retângulo são as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.
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Embora seja muito legal conseguir encontrar os comprimentos laterais de um triângulo retângulo, essas funções trigonométricas podem fazer muito mais. Eles aparecem em todos os tipos de lugares inesperados, como na música, onde as ondas sonoras sobrepostas e a forma de cada onda podem ser descritas usando seno e cosseno.
As funções trigonométricas descrevem não apenas ondas sonoras, mas também todos os tipos de movimentos periódicos e repetitivos. Isso inclui o movimento de um pêndulo para frente e para trás e as ondas de corrente elétrica que são transmitidas ao longo das linhas de energia.
Aproximação de ângulo pequeno para cosseno
Embora as funções trigonométricas apareçam em todos os tipos de funções matemáticas, às vezes pode ser difícil trabalhar com elas. Em certos casos, você pode usar algumas aproximações simples para essas funções que tornam as equações muito mais fáceis de resolver. Como essas aproximações geralmente funcionam apenas quando o valor do ângulo envolvido é muito pequeno, elas são chamadas de aproximações de pequenos ângulos . Para ver como essas aproximações de pequenos ângulos funcionam, vamos primeiro ver o que acontece com o valor da função cosseno quando um dos ângulos do triângulo é realmente pequeno.
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Você notou que, neste triângulo, o lado adjacente ao menor ângulo tem quase o mesmo comprimento que a hipotenusa? Isso tem algumas implicações muito importantes para o valor da função cosseno de ângulos pequenos, como este.
Lembre-se de que o cosseno de um ângulo é igual ao comprimento do lado adjacente do triângulo dividido pela hipotenusa. Se o lado adjacente e a hipotenusa têm quase o mesmo comprimento, o cosseno do ângulo seria aproximadamente igual a 1. Isso é chamado de aproximação de pequeno ângulo para a função cosseno. Para ângulos pequenos, o cosseno do ângulo sempre será aproximadamente 1.
Quão pequeno deve ser um ângulo para aplicar a aproximação de pequeno ângulo? Embora se torne cada vez mais impreciso à medida que o ângulo aumenta, uma boa regra prática é que a aproximação de pequeno ângulo para o cosseno pode ser usada desde que o ângulo seja inferior a cerca de 15 graus. O cosseno de 15 graus é 0,97, que ainda está bem próximo de 1; no entanto, o cosseno de 20 graus é 0,94 e o cosseno de 30 graus é 0,87. Depois de passar cerca de 15 graus, os valores da função cosseno começam a se desviar significativamente de 1, portanto, não é uma boa ideia usar a aproximação de ângulo pequeno.
Aproximação de ângulo pequeno para seno
A aproximação de pequeno ângulo para a função seno é um pouco mais complicada de entender. Para ver como funciona, você precisa primeiro desenhar um círculo e, em seguida, fazer um triângulo retângulo com o raio do círculo como um dos lados do triângulo.
Lembre-se de que a função seno é igual ao comprimento do lado oposto ao ângulo (denominado O ) dividido pela hipotenusa ( H ). Também é verdade que o comprimento do arco do círculo que está dentro desse triângulo é encontrado multiplicando o comprimento do raio do círculo pelo ângulo, medido em radianos.
Olhando para o círculo e o triângulo, você pode ver que, enquanto o ângulo for pequeno, o raio do círculo ( r ) é aproximadamente igual à hipotenusa ( H ) do triângulo e que o ( s ) comprimento ( s ) do arco é aproximadamente igual ao lado oposto ao ângulo ( O ).
Isso significa que, para ângulos pequenos, o seno de um ângulo é igual ao valor do próprio ângulo. Lembre-se de que isso só funciona para ângulos medidos em radianos!
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Aproximação de ângulo pequeno para tangente
A mesma lógica que aplicamos à função seno também pode ser aplicada à função tangente. Quando o ângulo é pequeno, o lado adjacente ao triângulo ( A ) é quase igual à hipotenusa ( H ), então a tangente de um pequeno ângulo também é igual ao seno do ângulo, que é aproximadamente igual à medida do ângulo em radianos.
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Resumo da lição
Muitas funções matemáticas contêm uma das funções trigonométricas: seno, cosseno ou tangente. Para simplificar essas funções, às vezes você pode usar aproximações que tornam as equações muito mais fáceis de resolver. Essas aproximações são chamadas de aproximações de pequenos ângulos , porque só são válidas quando o ângulo envolvido é muito pequeno (geralmente menor que cerca de 15 graus).
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