Probabilidades em cenários da vida real
Andrew está se preparando para uma conferência de negócios. Seu avião parte em algumas horas, então ele terá que se apressar. Ele pega uma gravata do armário, duas meias da cômoda e dois sapatos debaixo da cama. Andrew começa a se vestir e percebe que há algo errado com esse cenário – alguns dos itens que escolheu não combinam com seu terno. Andrew pode entender mais sobre este cenário se aprender sobre probabilidade condicional e probabilidade independente.
Nesta lição, você aprenderá sobre o dilema de Andrew e como ele se aplica às probabilidades condicionais e independentes. Você também aprenderá como encontrar probabilidades condicionais e independentes.
Definição de probabilidades condicionais e independentes
Quando Andrew pega uma gravata do armário sem olhar, este é um exemplo de probabilidade independente. Nesse caso, você só tem um evento a considerar. Probabilidade independente é quando a probabilidade de um evento não é afetada por um evento anterior.
Andrew tem 12 gravatas em seu armário. Dos 12, Andrew tem quatro gravatas que combinam com seu terno. Andrew está puxando apenas uma gravata do armário. Esse é um evento que não tem relação com nenhum dos outros eventos, o que o torna uma probabilidade independente.
Andrew tem muitas meias soltas na gaveta da cômoda. Ele tem 15 meias pretas com riscas pequenas e 15 meias pretas lisas. Andrew tem que puxar uma meia; então, a segunda meia que Andrew puxa deve corresponder à primeira meia. O fato de Andrew ter duas meias iguais depende da meia que ele puxa primeiro e da meia que tira depois. Nesse caso, você tem dois eventos a considerar. Este é um exemplo de probabilidade condicional , que é a probabilidade de um segundo evento acontecer, dado que o primeiro evento já ocorreu. Este caso particular de probabilidade condicional lida com eventos dependentes , que é quando um evento influencia o resultado de outro evento em um cenário de probabilidade.
Andrew tem seis pares de tênis, dois pares de sandálias e um par de sapatos sociais. Quando Andrew pega uma caixa de sapatos debaixo da cama, este é um evento único. Portanto, a probabilidade de Andrew agarrar sapatos sociais de debaixo da cama é um evento independente. No entanto, se quisermos saber a probabilidade de Andrew tirar um par de sapatos sociais de debaixo da cama, visto que ele já tirou do armário uma gravata que combina com seu terno, este seria um caso de probabilidade condicional com eventos independentes.
Encontrando Probabilidades Condicionais e Independentes
Podemos encontrar a probabilidade de Andrew obter o empate correto encontrando o número de resultados desejados dividido pelo número total de resultados possíveis. Novamente, este é um caso de probabilidade independente. Podemos usar esta fórmula:
P (A) = A / T
Nesta fórmula, P (A) representa a probabilidade do evento A, que neste caso é o empate que corresponde ao naipe. A representa o número de empates que correspondem ao naipe de Andrew e T representa o número total de empates. Você freqüentemente verá P (A) e A em problemas de probabilidade. Você não verá T em uma fórmula com muita frequência, e a estamos usando hoje apenas como um marcador.
Lembre-se, Andrew tem quatro gravatas que combinam com seu terno e um total de 12 gravatas em seu armário. Portanto, os quatro empates que correspondem ao naipe de Andrew são os resultados desejados e os 12 empates são os resultados totais possíveis. Nossa fórmula será semelhante a esta:
P (A) = 4/12
Para simplificar, Andrew tem uma chance de 1 em 3 de conseguir uma gravata que combine com seu terno.
Agora precisamos encontrar a probabilidade de Andrew puxar duas meias iguais de sua gaveta. A fórmula para probabilidade condicional com eventos dependentes é ligeiramente diferente da probabilidade independente.
A barra entre A e B significa ‘dado’. Portanto, o início deste problema lê ‘a probabilidade de B dado A.’ Em outras palavras, qual é a probabilidade de o evento B acontecer se A já tiver ocorrido?
Vamos decompô-lo um passo de cada vez. Primeiro, qual é o número total de meias na gaveta? Direito; Andrew tem 30 meias no total em sua gaveta. Isso significa que há 30 resultados possíveis no total. Agora, Andrew tem um terno preto, então ele quer que suas meias combinem com seu terno. Quantas meias pretas tem a gaveta do Andrew? 15. Correto; são 15 meias pretas. A primeira parte de nossa fórmula será semelhante à fórmula de probabilidade independente:
15/30 P (A)
Mas e a segunda meia? Lembre-se de que o segundo evento depende do primeiro evento realmente acontecer. Então, digamos que Andrew puxou uma meia preta de sua gaveta. Agora, quantas meias sobraram na gaveta? Ainda sobraram 29 meias na gaveta porque André já puxou uma meia. Presumimos que ele está tirando uma meia preta; então agora, quantas meias pretas sobraram na gaveta? Restam 14 meias pretas na gaveta. Portanto, a probabilidade condicional dos eventos dependentes seria:
14/29 ou P (B | A)
Agora que você sabe como encontrar a probabilidade condicional com eventos dependentes, vamos examinar a probabilidade condicional com eventos independentes. Andrew agora deve puxar os sapatos de debaixo da cama. Andrew tem seis pares de tênis, dois pares de sandálias e um par de sapatos sociais. A probabilidade de Andrew puxar seus sapatos de debaixo da cama é uma em nove chances. Isso porque há um par de sapatos sociais e nove pares de sapatos no total. Não podemos anotar assim:
1/9 = P (B)
Então, qual é a probabilidade de Andrew conseguir puxar os sapatos sociais de debaixo da cama, visto que ele já puxou uma gravata combinando do armário? Primeiro, você tem que se perguntar: o primeiro evento influencia o segundo evento? Caso contrário, estamos trabalhando com eventos independentes nesta probabilidade condicional. Embora Andrew possa estar se sentindo mais confiante depois de puxar uma gravata combinando de seu armário, sua gravata não influencia o que acontecerá quando ele tirar os sapatos de debaixo da cama.
Quando você está olhando para eventos independentes e probabilidade condicional, a probabilidade condicional de P (B | A) é a mesma coisa que a probabilidade de P (B). Isso ocorre porque o evento B é um evento independente. Lembre-se de que a definição de eventos independentes é quando a probabilidade de um evento não é afetada por um evento anterior. Portanto, embora este seja um problema de probabilidade condicional, a probabilidade do evento B não é alterada pela condição.
Portanto, podemos dizer que a probabilidade de Andrew puxar seus sapatos sociais de debaixo da cama, dado que ele já puxou uma gravata combinando do armário, é 1/9 de chance – exatamente a mesma que a probabilidade do evento independente B.
Encontrando um determinado evento
Às vezes, você receberá a interseção de dois eventos e a probabilidade do evento A, mas não a probabilidade do evento B dado o evento A. Isso provavelmente parece um pouco confuso. Digamos que Andrew terminou de se arrumar e está indo para o aeroporto. Qual é a probabilidade de que Andrew chegará ao aeroporto e pela segurança em tempo hábil? Obviamente não temos dados estatísticos concretos sobre esse cenário, mas digamos que soubéssemos que Andrew tinha 50% de chance de chegar ao aeroporto em tempo hábil e 15% de chance de chegar ao aeroporto e pela segurança a tempo. Nesse caso, sabemos as chances do evento A, 50%, e sabemos as chances de A e B, 15%, mas quais são as chances de Andrew passar pela segurança?
Para este cenário específico, precisamos usar a seguinte equação:
P (B | A) = P (A e B) / P (A)
OP (A e B) é conhecido como a interseção de dois eventos. Portanto, nossa equação seria assim:
0,15 / 0,50 = 0,3
Andrew tem 30% de chance de passar pela segurança em tempo hábil. Os procedimentos no portão de segurança não têm nada a ver com a hora em que Andrew chega ao aeroporto. Portanto, esses dois eventos são independentes. P (B | A) = P (B).
Resumo da lição
Quando você está realizando um experimento ou coletando dados em geral, provavelmente estará olhando para uma probabilidade independente. Probabilidade independente é quando a probabilidade de um evento não é afetada por um evento anterior. Podemos usar esta fórmula:
P (A) = A / T
Nesse caso, A é todos os resultados desejados, como todas as gravatas que combinam com o naipe de Andrew, e T é todos os resultados possíveis, como todas as gravatas no armário de Andrew.
Você também encontrará probabilidade condicional. A probabilidade condicional é a probabilidade de um segundo evento, dado que um primeiro evento já ocorreu. Você usará a fórmula P (B | A). Isso é perguntar ‘Qual é a probabilidade de o evento B acontecer se o evento A já tiver ocorrido?’ Você encontrará probabilidades condicionais de duas maneiras diferentes: eventos dependentes e eventos independentes. Probabilidades condicionais com eventos dependentes são quando um evento influencia o resultado de outro evento em um cenário de probabilidade.
O importante a lembrar para probabilidade condicional com eventos independentes é que quando você está olhando para eventos independentes e probabilidade condicional, a probabilidade condicional de P (B | A) é a mesma coisa que a probabilidade de P (B). Quando você está lidando com eventos independentes, a probabilidade do evento B não é alterada pela condição.
Às vezes, você receberá a interseção de dois eventos e a probabilidade do evento A, mas não a probabilidade do evento B dado o evento A. Nesse caso, você precisará usar a seguinte fórmula:
P (B | A) = P (A e B) / P (A)
Resultados de Aprendizagem
Depois de concluir esta lição, você será capaz de:
- Defina os tipos de probabilidade
- Descreva as fórmulas para encontrar probabilidades de eventos