Revisão rápida da regra de L’Hôpital
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A regra de L’Hôpital diz que se você está tentando encontrar um limite e acaba com algo como 0/0 ou infinito / infinito, você pode tentar olhar as derivadas para calcular o limite. Ou seja, o limite quando x vai para C de f (x) / g (x) . Se isso der 0/0 ou infinito / infinito, você pode dizer que o limite que estava procurando originalmente é igual ao limite quando x vai para C de f ‘(x) / g’ (x) .
Exemplo de regra de L’Hôpital em casos complexos
Às vezes, porém, a regra de L’Hôpital não dá exatamente o que você está procurando. Como no caso do limite quando x vai para zero de (1 – cos ( x )) / x ^ 2. Agora, em x = 0, tenho zero na parte superior e zero na parte inferior, então isso me diz que devo usar a regra de L’Hôpital. Eu faço isso, e acho que o limite quando x vai para zero de (1 – cos ( x )) / x ^ 2 é o mesmo que o limite quando x vai para zero de sin ( x ) / 2 x , porque sin ( x ) é a derivada de 1 – cos ( x ), e 2 x é a derivada de x^ 2. Aqui está o problema; o limite quando x vai para zero de sin ( x ) é 0, e o limite quando x vai para zero de 2 x é 0. Hmm, bem, isso é um problema. Usamos a regra de L’Hôpital para evitar isso em primeiro lugar. O que agora?
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Bem, sin ( x ) / 2 x é realmente apenas outra função, certo? Portanto, podemos usar a regra de L’Hôpital sobre isso. Agora meu novo f (x) é sin ( x ), e meu novo g (x) é 2 x . Se eu usar isso na regra de L’Hôpital, então eu digo que o limite quando x vai para zero de sin ( x ) / 2 x é igual ao limite quando x vai para zero de cos ( x ) – que é a derivada de sin ( x ) – dividido por 2, que é a derivada de 2 x . Finalmente, quando x vai para zero, cos ( x ) vai para 1, e quando xvai para zero, 2 fica para 2. Então, finalmente tenho um limite que não é 0/0. O que eu acabo com é o limite quando x vai para zero de (1 – cos ( x )) / x ^ 2 é igual a 1/2, e eu descobri isso apenas aplicando repetidamente a regra de L’Hôpital.
Segundo exemplo
Portanto, vemos muito esse tipo de coisa quando olhamos para coisas como funções trigonométricas e polinômios. Como o exemplo, limite quando x vai para zero de ( x ^ 3 – x ^ 2) / (2 x ^ 2). Agora, em x = 0, tanto a parte superior quanto a inferior são zero, portanto, esse limite é 0/0. Eu aplico a regra de L’Hôpital usando o topo – f (x) = x ^ 3 – x ^ 2 – e o fundo, g (x) , sendo 2 x ^ 2. Encontro as derivadas delas e as conecto. Acabo com o limite conforme x vai para zero de (3 x ^ 2 – 2 x ) / 4 x. Bem, mais uma vez esse limite está me dando 0/0, então vou aplicar a regra de L’Hôpital novamente. Meu novo f (x) é 3 x ^ 2 – 2 x do topo aqui, e meu novo g (x) é 4 x . Eu encontro as derivadas, eu as conecto e obtenho o limite quando x vai para zero de (6 x – 2) / 4. Bem, esse limite existe e esse limite é -2/4 ou -1/2. Portanto, a partir de tudo isso, dessas aplicações repetidas da regra de L’Hôpital, eu acho que o limite quando x vai para zero de ( x ^ 3 – x ^ 2) / (2 x ^ 2) é -1/2.
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Terceiro exemplo
Vejamos outro caso, como o limite quando x vai para zero de x (1 – cos ( x )) / ( x – sin ( x )). Em x vai para zero, eu tenho o limite de 0/0, então uso a regra de L’Hôpital. Ok, então pegando a derivada do topo, eu obtenho primeiro, x , vezes a derivada do segundo, que é sin ( x ), mais a derivada do primeiro (que é apenas 1) vezes o segundo, 1 – cos ( x ). Pego a derivada de baixo e acabo com a derivada de x , que é 1, menos a derivada de sin ( x ), que é cos ( x ). Tudo bem, bem como xvai para zero, o topo é zero e o fundo é zero. Bem, vamos usar a regra de L’Hôpital novamente. Portanto, a derivada no topo será a derivada de x (sin (x)), então primeiro vezes a derivada do segundo mais a segunda vezes a derivada da primeira, que é 1, mais a derivada de 1 – cos ( x ), que é apenas sin ( x ). Vou dividir isso pela derivada de 1 – cos ( x ), que é sin ( x ).
Como tenho dois sin ( x ) s no topo, vou coletar os termos e escrever isso como o limite conforme x vai para zero de ( x (cos ( x )) + 2sin ( x )) / sin ( x ) Tudo bem, aqui vamos nós; usamos a regra de L’Hôpital duas vezes, o limite do topo é 0 + 0 – uh oh – sobre sin ( x ): 0. Huh. Bem, vamos tentar usar a regra de L’Hôpital novamente! A derivada de x (cos ( x ) é – x (sin ( x )) + cos ( x ). A derivada de 2sin ( x ) é 2cos ( x ), e estou dividindo isso pela derivada de sin ( x ), ou cos (x ). Novamente, vou simplificar os termos porque tenho muitos cossenos no topo e acabo com (3cos ( x ) – x sin ( x )) / cos ( x ). Certo, qual é o limite disso quando x vai para zero? Bem, esse primeiro termo vai para 3, isso vai para 0 e cos ( x ) vai para 1. Ah, finalmente! 3/1, ou apenas 3. Portanto, o limite quando x vai para zero de ( x (1 – cos ( x )) / ( x – sin ( x )) é 3. Continuamos aplicando a regra de L’Hôpital sempre que viu 0/0.
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Resumo da lição
Vamos revisar. A regra de L’Hôpital diz que o limite quando x vai para C de f (x) / g (x) é igual ao limite quando x vai para C de f ‘(x) / g’ (x) enquanto seu original limite dado a 0/0 ou infinito / infinito. Agora, se seu novo limite fornece 0/0 ou infinito / infinito, você pode continuar aplicando a regra de L’Hôpital até obter algo que faça mais sentido, como 0/3 ou 1/2.