Distância viajada
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Ok, então se você estiver viajando a 30 milhas por hora durante 1 hora, você sabe que terá percorrido 30 milhas no final dessa hora. Isso não é tão ruim. Mas digamos que você tenha sua velocidade em função do tempo, e não é uma velocidade constante. Digamos que você esteja navegando pelo trânsito, diminuindo, aumentando e diminuindo a velocidade. Existe uma maneira de descobrir o quão longe você foi apenas considerando sua velocidade em função do tempo?
Certo! A distância que você percorreu nada mais é do que a integral de sua velocidade em função do tempo de tempo a até tempo b . Mas como podemos realmente calcular essa integral definida se sua velocidade não é constante?
Teorema Fundamental do Cálculo
Bem, vamos usar o teorema fundamental do cálculo , o FToC . Agora, o teorema fundamental do cálculo disse que se você vai tomar a integral definida de f (t) dt de t = a até t = b , isso é o mesmo que a anti-derivada de f (t) avaliada em b menos a anti-derivada de f (t) avaliada em a . Bem, podemos escrever esta abreviação como a anti-derivada de t de a para b . Então, isso aqui, este F (t) de a ab , é a mesma coisa que isso. Isso apenas diz que vamos avaliar essa função em b e subtrair dessa função avaliada em a .
Se tivermos uma integral indefinida, sei que posso escrever a integral indefinida de f (x) dx como a anti-derivada de f (x) mais alguma constante, alguma constante de integração. É apenas um único número, embora não nos importemos qual seja agora.
Anti-Derivados de Polinômios
Então, o que acontece se você estiver tentando integrar um polinômio? Digamos que você esteja integrando 1 – então isso é como x elevado a 0. A integral de dx é igual ax mais sua constante de integração. Isto faz sentido, porque se eu tomar a derivada em relação a x de x + C , eu voltar 1, então X + C é o anti-derivado de 1. Dito de outro modo, um é o derivado de x + C .
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E se você quiser integrar o xdx ? Bem, isso é igual a (1/2) x ^ 2 mais sua constante de integração. Isso faz sentido? Bem, vamos verificar. Vamos ter certeza de que a derivada desta anti-derivada aqui é igual à nossa função original – neste caso, x . Assim, a derivada, d / dx , de (1/2) x ^ 2 + C é igual a (1/2) d / dx ( x ^ 2) porque retiramos 1/2, e a derivada de C é apenas 0 porque é a derivada de uma constante. Portanto, (1/2) d / dx ( x ^ 2). Vou usar minha regra de potência para diferenciar e recebo (1/2) 2 x. Meus 2 são cancelados e eu recebo x . Portanto, se eu tirar a derivada de (1/2) x ^ 2 + C , obtenho x . Assim, (1/2) x ^ 2 + C é uma anti-derivada de x . Então isso também funciona. Se eu integrar x ^ 2, o que obtenho? Bem, o que é uma anti-derivada de x ^ 2? E quanto a (1/3) x ^ 3 + C ? Mais uma vez, eu pode tomar o derivado de (03/01) x ^ 3 + C . Bem, isso é (1/3) d / dx ( x ^ 3), que é (1/3) 3 x^ 2. Novamente usando minha regra de potência, os 3 são cancelados e eu recebo x ^ 2 de volta. Então, sim, (1/3) x ^ 3 + C é uma anti-derivada de x ^ 2. Ou seja, a derivada de 1/3 x ^ 3 + C é x ^ 2.
Agora você pode generalizar isso para quase qualquer ordem de polinômio. Digamos que você tenha x ^ n e queira integrá-lo. Contanto que n não seja igual a -1, então o integral de x ^ n dx é (1 / ( n + 1)) * ( x ^ ( N 1)) + C . Você pode pensar nisso como o oposto da regra de poder.
Exemplo 1
Ok, então vamos dar um exemplo. Digamos que você esteja em uma placa de pare e, assim que começar a se mover para frente, pressione ‘continuar’ no cronômetro. Sua velocidade aumenta t ^ 2, onde t é agora o seu tempo. Quão longe você foi entre o tempo 0, quando você estava naquele sinal de parada e tempo 2, digamos 2 minutos. Bem, o quão longe você tenha ido é a integral de t = 0 a t = 2 de t ^ 2 dt . Como calculamos isso?
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Bem, vamos usar o teorema fundamental do cálculo. Isso quer dizer que a integral de a a b de f (t) dt é igual à anti-derivada de f (t) avaliada em b , menos a anti-derivada de f (t) avaliada em a , que podemos abreviar como o anti-derivado avaliado em b – a . Então, qual é a anti-derivada de um polinômio? Bem, o integrante de x ^ n dx = (1 / ( n + 1)) * ( x ^ ( N 1)) + C . Neste caso, estamos olhando para t^ 2, que é n = 2, de modo que o integral de x ^ 2 dx = (1/3) x ^ 3 + C . Ok, então vamos usar isso como nosso anti-derivado aqui. A integral de t = 0 a 2, t ^ 2 dt , é igual a esta anti-derivada, (1/3) t ^ 3 + C , avaliada de a a b . Então, vamos conectar a e b . Nossa integral é ((1/3) b ^ 3 + C ) – ((1/3) a ^ 3 + C ). O C s’ cancelar fora, e ficamos com 1/3 ( b^ 3 – a ^ 3). Agora, isso traz um ponto importante. Escolhemos a anti-derivada que incluía nossa constante aqui, mas como estamos olhando para uma integral definida, não precisamos dessa constante. Portanto, vamos ignorar de agora em diante quando estivermos avaliando integrais definidas. Ok, agora temos nossa integral como 1/3 ( b ^ 3 – a ^ 3). Vamos inserir nossos valores para a e b . Bem, a é o lado esquerdo, a parte inferior desse intervalo aqui, eb é o topo do intervalo. Portanto, a é t = 0 e b é t = 2. Então, se eu os conectar, b = 2 e a= 0, obtenho 1/3 (2 ^ 3 – 0 ^ 3), que é apenas 8/3.
Exemplo # 2
Vejamos outro exemplo, que podemos ter visto antes. Digamos que você esteja olhando para a área de uma nova propriedade no Lago Heaviside. Essa área é dada pela integral de 0 a 10 de (50 – x ^ 2 + 5 x ) dx . Bem, eu posso usar meu teorema fundamental e dizer que isso é igual à anti-derivada avaliada entre 0 e 10. Bem, isso não se parece com nenhuma integral que eu já vi antes, então vamos usar uma propriedade de integrais e quebrar isso em três integrais diferentes.
Então, a integral de 0 a 10 de (50 – x ^ 2 + 5 x ) dx é igual à integral de 0 a 10 de 50 dx menos a integral de 0 a 10 de x ^ 2 dx mais a integral de 0 a 10 de 5 xdx . Posso reescrever isso retirando esses valores constantes. Lembre-se de que essa é outra propriedade das integrais. Então minha integral é igual a 50 vezes a integral de 0 a 10 de dx menos a integral de 0 a 10 de x ^ 2 dx mais 5 vezes a integral de 0 a 10 de xdx . Vamos dar uma olhada em cada um deles. 50 vezes a integral de 0 a 10 de dxé igual a 50 vezes a anti-derivada de 1 de 0 a 10. Eu sei que a integral de 1 é igual ax , então vamos inserir isso, e obtenho 50 vezes x avaliado de 0 a 10, que é 50 (10 – 0), que é igual a 50 (10), que é 500. Ok, então esse é meu primeiro mandato. E o meu segundo mandato? A integral de 0 a 10 de x ^ 2 dx é igual à anti-derivada avaliada de 0 a 10. Bem, eu sei que se estou integrando x ^ 2, vou obter algo como (1/3 ) x ^ 3, porque este é apenas um polinômio. Eu posso pegar isso, (1/3) x^ 3 e avalio de 0 a 10, e eu obtenho ((1/3) 10 ^ 3) – ((1/3) 0 ^ 3), e isso é igual a 1000 / 3. Então agora eu tenho meu Segundo termo. Bem, vamos olhar para este último termo: 5 vezes a integral de 0 a 10 de xdx . A integral de xdx é (1/2) x ^ 2 + C , então minha anti-derivada que vou usar é (1/2) x ^ 2. E se eu avaliar isso em 10 e 0, obtenho 5 ((1/2) 10 ^ 2) – ((1/2) 0 ^ 2), que é 250. E esse é meu terceiro termo.
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Ok, esses são todos os meus termos. Se eu pegar 500 – (1000/3) + 250, obtenho cerca de 417, que é o que teríamos obtido se tivéssemos usado um cálculo de soma de Riemann em um monte de pequenos retângulos.
Resumo da lição
Portanto, vamos revisar os anti-derivados de polinômios, ou seja, como realmente integrar polinômios. A integral de dx é igual ax mais uma constante de integração. O integral de x vezes dx é igual a (1/2) x ^ 2 mais uma constante, C . Isso continua, e para todos os valores de n diferentes de -1, a integral de x ^ n dx é igual a (1 / ( n +1)) * ( x ^ ( n +1)) mais aquela constante de integração. Usando isso, você pode começar a calcular todas as integrais que contêm polinômios.