Definições de ângulos
Imagine que você está caminhando por uma floresta e olhe para o topo de uma árvore alta. O ângulo entre o solo horizontal e sua linha de visão até o topo do objeto (a árvore, neste caso) é conhecido como ângulo de elevação . Da mesma forma, se você estiver olhando para algo abaixo de você, o ângulo de depressão é medido entre a horizontal e sua linha de visão para baixo até o objeto.
Você pode usar ângulos de depressão e elevação, junto com as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, para calcular distâncias desconhecidas. Vejamos três problemas práticos que o ajudarão a entender como fazer isso.
Problema prático # 1
Há uma árvore alta no seu quintal e você acha que ela pode atingir sua casa se cair. Você mede que a base da árvore está a 12 metros de sua casa, mas não sabe a altura da árvore. Para determinar a altura da árvore, você fica do lado de fora da porta dos fundos e mede o ângulo de elevação do solo à árvore em 64 graus. Quão alta é a árvore?
Para descobrir isso, primeiro faça um desenho cuidadoso da situação e identifique todas as distâncias e ângulos que você conhece. Nesse caso, você sabe a distância até a base da árvore (48 pés) e o ângulo de elevação do solo até a árvore (64 graus).
Em seguida, você usará uma ou mais das funções trigonométricas para encontrar o lado ausente do triângulo (a altura da árvore, h ). Aqui, como você conhece o ângulo e o lado adjacente e deseja encontrar o lado oposto do triângulo, você desejará usar a função tangente:
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Agora você sabe que a árvore tem 30 metros de altura. Cairia na sua casa ou não? Provavelmente sim! Se a árvore caísse em direção à sua casa, certamente acertaria porque a árvore tem 30 metros de altura e há apenas 12 metros de sua casa até a base da árvore.
Problema prático # 2
De pé em um penhasco de 35 metros de altura, você olha para baixo, para seu amigo, que está parado em um terreno plano em frente ao penhasco. O ângulo de depressão ao longo da linha de visão de você até seu amigo é de 65 graus. A que distância do penhasco está seu amigo?
Primeiro, observe que, para encontrar o ângulo dentro do triângulo, você precisará subtrair o ângulo de depressão de 90 graus.
90 graus – 65 graus = 25 graus
Embora esse problema possa inicialmente parecer muito diferente do problema da primeira prática, é realmente muito semelhante. Depois de traçar um quadro da situação e rotular todas as distâncias e ângulos conhecidos, você verá que pode usar a função tangente para encontrar a distância desconhecida novamente.
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Agora, vamos tentar descobrir também a distância em linha reta de você até seu amigo. Para isso, você precisará usar outra das funções trigonométricas, seno. Vamos chamar a distância de você até seu amigo x e, em seguida, calcular x usando a função seno:
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Problema prático # 3
Agora vamos tentar um um pouco mais complicado:
Um prédio fica em uma colina de 50 metros de altura. Se você ficar a 70 metros da colina e olhar para o edifício, o ângulo de elevação até a base do edifício é de 20 graus e o ângulo de elevação até o topo do edifício é de 60 graus. Qual é a altura do prédio?
Vamos primeiro tentar fazer esse problema parecer um pouco mais simples, retirando as informações relevantes. A coisa mais importante a notar é o ângulo de elevação até o topo do edifício (60 graus). Então você pode ver que a altura do triângulo retângulo é a altura do prédio mais a altura da colina ( h +50 metros). Então, você pode mais uma vez usar a função tangente para encontrar a altura do edifício.
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Resumo da lição
O ângulo entre o solo horizontal e sua linha de visão até o topo de um objeto é conhecido como ângulo de elevação . Da mesma forma, se você estiver olhando para algo abaixo de você, o ângulo de depressão é medido entre a horizontal e sua linha de visão para baixo até o objeto.
Para resolver problemas envolvendo ângulo de depressão ou elevação, primeiro desenhe cuidadosamente um triângulo retângulo e identifique todas as distâncias conhecidas e o ângulo de depressão ou elevação. Em seguida, use as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente a para encontrar as distâncias desconhecidas.