O que são ângulos coterminais?
Os ângulos cooterminais são dois (ou mais) ângulos que têm seus lados inicial e terminal nas mesmas posições. No entanto, as medidas dos ângulos diferem porque:
- Um ângulo é medido no sentido horário e o outro é medido no sentido anti-horário
- Os lados terminais dos ângulos completaram diferentes rotações completas
Revisão da terminologia do ângulo
Vamos revisar a configuração padrão para ângulos em trigonometria. Começaremos com o ângulo criado pelos ponteiros de um relógio às 3:15, quando tanto o ponteiro das horas quanto o ponteiro dos minutos apontam para o 3. Isso forma um ângulo que mede 0 graus. Freqüentemente, você vê ângulos em trigonometria em um plano de coordenadas. É por isso que também têm atraído x – e y -axes no relógio. Portanto, os lados do nosso ângulo estão alinhados com o eixo x positivo .
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Para todos os ângulos nesta lição, mantemos um lado do ângulo no eixo x positivo e o vértice na origem. Esta é considerada a posição padrão para um ângulo. O lado ao longo do eixo x positivo é chamado de lado inicial . Em todos os diagramas desta lição, o lado vermelho é o lado inicial. Giramos o outro lado do ângulo, chamado lado terminal , para varrer a medida do ângulo. Ao longo da lição, o lado azul será o lado terminal.
Além disso, lembre-se da direção em que os ângulos são medidos. Um ângulo com medida positiva tem um lado terminal que gira no sentido anti-horário. Um ângulo com medida negativa tem um lado terminal que gira no sentido horário.
Medindo Ângulos Coterminais
Quais medições de ângulo resultariam na mesma posição inicial e terminal lateral como um ângulo de 0 grau? Imagine se você girar o lado do terminal no sentido anti-horário uma vez em todo o círculo até que ambos os lados do ângulo apontem para o 3 novamente. O resultado final parece o mesmo que o ângulo de 0 grau. No entanto, o lado azul foi girado 360 graus. Portanto, 360 graus é um ângulo coterminal a 0 graus. A única diferença nas medidas é indicada pela seta de rotação.
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Se o lado do terminal completar uma rotação completa no sentido horário até apontar para o 3 novamente, você girou em um ângulo de -360 graus. Portanto, -360 graus também é um ângulo coterminal a 0 graus. Observe abaixo que a posição final dos lados do ângulo parece a mesma para 0 graus e -360 graus (bem como para os 360 graus anteriores).
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O lado terminal pode girar várias rotações completas e, desde que a posição final dos lados do ângulo tenha ambos apontando para 3, você teria um ângulo coterminal de 0 graus. Por exemplo, se você fez 5 rotações no sentido anti-horário, então você teria um ângulo que mede 1.800 graus porque 5 x 360 = 1.800.
Pode ser útil saber quantos graus estão em múltiplos de rotações completas:
- 1 rotação = 360 graus
- 2 rotações = 720 graus
- 3 rotações = 1080 graus
Exemplos
Agora, vamos examinar alguns exemplos de problemas comuns relacionados a ângulos coterminais.
Para o primeiro exemplo, você precisa encontrar um ângulo positivo e um ângulo negativo que seja coterminal a um ângulo de 60 graus.
Um ângulo de 60 graus na posição padrão teria o lado inicial ainda no eixo x positivo (apontando para o 3). Um ângulo de 60 graus seria criado girando-se o lado do terminal no sentido anti-horário do 3 para apontar em direção ao 1 no relógio, conforme mostrado abaixo.
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De que outra forma podemos obter as mesmas posições dos lados inicial e terminal? Você pode girar o lado do terminal de 3 no sentido horário até que aponte para 1. Isso resultaria em um ângulo de 300 graus porque você girou no sentido horário e parou 60 graus antes de completar uma rotação completa. Portanto, 60 graus e -300 graus são ângulos coterminais. A rotação de -300 graus é mostrada aqui.
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Infinitamente muitos outros ângulos são coterminais a 60 graus. Cada vez que você adiciona ou subtrai um múltiplo de 360 graus a 60 graus, você acaba com um ângulo coterminal de 60 graus.
Agora vamos tentar um tipo diferente de exemplo:
Encontre o menor ângulo coterminal positivo para um ângulo de 759 graus.
Para começar este problema, precisamos perceber que 759 graus inclui um par de rotações completas. Portanto, podemos girar o lado do terminal no sentido horário em duas rotações completas subtraindo 720 graus. 759 – 720 = 39 graus. O menor ângulo positivo para 759 graus é um ângulo que mede 39 graus.
Vamos tentar outro exemplo como este, mas desta vez com um ângulo negativo.
Encontre o menor ângulo coterminal positivo para um ângulo de -400 graus. Como o ângulo é negativo, sabemos que o lado terminal girou no sentido horário. Uma rotação no sentido horário teria sido de -360 graus, então a -400 graus passamos de uma rotação completa. Então, vamos começar adicionando -400 + 360 = -40 graus. Isso tira a rotação completa. No entanto, ainda temos um ângulo negativo e a definição do problema pedia um ângulo positivo. Portanto, se adicionarmos 360 novamente, giramos o lado terminal no sentido anti-horário para terminar com um ângulo coterminal positivo de 320 graus.
Resumo da lição
Vamos revisar.
- Os ângulos coterminais são ângulos que parecem iguais em sua posição final, mas diferem no número de rotações completas que foram concluídas.
- Um ângulo com medida positiva tem um lado terminal que gira no sentido anti-horário. Um ângulo com medida negativa tem um lado terminal que gira no sentido horário.
- Existem infinitos ângulos coterminais para um determinado ângulo. Eles são encontrados adicionando ou subtraindo múltiplos de 360 graus à medida do ângulo específico.