Definição
A análise de zero significa que você está encontrando todos os zeros ou soluções para uma função específica. As funções usuais com as quais você trabalhará são polinômios da seguinte forma.
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As funções que você resolverá serão semelhantes às seguintes.
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Esses polinômios não são os mais fáceis de resolver, mas vou mostrar o método a ser usado para encontrar os zeros ou soluções de qualquer polinômio. As etapas que vou mostrar se aplicam à resolução de todas as funções polinomiais. Depois de dominá-lo, ele lhe servirá bem. Portanto, coloque sua cabeça para pensar e podemos começar a trabalhar.
Configurando o problema
O que você verá pode parecer tedioso, mas você verá como isso irá abreviar o seu problema mais tarde.
Seguiremos em frente e resolveremos a primeira função que mostrei a vocês.
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Nosso primeiro passo é examinar os coeficientes do primeiro e do último termos. Coeficientes são os números que você vê na frente das variáveis em cada termo. Os termos são o produto de um coeficiente numérico e variáveis e são separados uns dos outros por um sinal de mais ou menos. Nesse caso, temos 1 como nosso coeficiente para o termo x ^ 3 e nosso último termo tem um coeficiente de -8.
Ao estabelecer nosso problema, queremos encontrar todos os fatores de nossos dois coeficientes. Vamos formar frações a partir desses fatores. Fatores são os números usados para se multiplicar e chegar ao número desejado. Eles também são os números que se dividem igualmente em nosso número. Assim, os fatores de -8 serão os números que usaremos para multiplicar para chegar a -8 ou números que se dividem igualmente em -8. Nossos fatores de -8 irão para o numerador e nossos fatores de 1 irão para o denominador. Para todos os nossos fatores, incluiremos o positivo e o negativo porque, se mudarmos os sinais, ainda seremos capazes de multiplicar para -8. Vamos ver o que temos.
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Para os fatores de -8, tenho o negativo e o positivo de 1, 2, 4 e 8. Observe como quando você multiplica 2 e -4 obtém -8, e também se você multiplica -2 e 4, também obtém -8. É por isso que incluímos versões positivas e negativas, porque os sinais podem ser facilmente trocados e ainda podemos multiplicar para o número desejado. Também colocamos nossos fatores de -8 no numerador de nossas frações e os fatores de 1 no denominador. Simplificamos as frações também. Sabemos que qualquer coisa acima de 1 é ele mesmo, então nossas frações simplificadas para números inteiros.
O objetivo dessas frações é nos dar uma lista de respostas possíveis. A forma como os polinômios funcionam é que, quando você obtém essa lista de frações, todas as soluções virão dessa lista. Nem todas as frações serão uma solução, mas algumas delas serão.
O que fazemos com essa lista de frações é escolher um número de cada vez na lista para ver se é uma solução do nosso polinômio. Nós verificamos a fração inserindo-a na função para ver se a função é igual a zero. Vamos escolher 1 como nosso primeiro número para tentar. Vamos ver se zera a função.
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Olhe para isso! 1 é uma solução de nossa função. Isso significa que um fator de nossa função é ( x -1). Quando escrevemos nossa solução entre parênteses com nossa variável, usamos um sinal de menos se nossa solução for positiva e um sinal de mais se nossa solução for negativa. Nossa solução é positiva, então usamos um sinal de menos. Como sabemos que ( x -1) é um fator de nossa função, podemos dividir nossa função por esse fator para começar a simplificar nossa função. Usaremos divisão sintética.
Divisão Sintética
A divisão sintética é outro método de divisão de polinômios, mas só funciona quando você está dividindo por fatores como ( x -a), onde a é um número. O que fazemos com a divisão sintética é colocar nosso zero no lado esquerdo e desenhar colchetes de divisão. Em seguida, colocamos nossos coeficientes em ordem sob o colchete. Nosso zero é 1 e nossos coeficientes para nossa função são 1, -7, 14 e -8. Se estivéssemos faltando um de nossos termos – por exemplo, não tínhamos umtermo x ^ 2 – colocaríamos um zero em seu lugar. Para nossa função, como todos os nossos termos estão presentes, não precisamos de nenhum zeros adicional.
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A maneira como a divisão sintética funciona é você desenhar outra linha abaixo, deixando espaço para escrever números entre a linha e sob nossos coeficientes. Baixamos nosso primeiro coeficiente, o multiplicamos pelo zero e colocamos esse número sob o próximo coeficiente.
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Em seguida, adicionamos esses dois números e os escrevemos sob a linha. Então pegamos a soma, multiplicamos pelo zero e colocamos sob o próximo coeficiente.
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Continuamos esse processo até chegarmos ao fim.
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Adicionamos os dois números e anotamos abaixo da linha. Também multiplicamos esse novo número pelo nosso zero e o anotamos no próximo coeficiente. Adicionamos esses dois últimos números para obter 0 e pronto. Observe como nosso último número é 0? Isso nos diz que fizemos a divisão corretamente e que 1 é um zero ou solução para nossa função.
Olhando para a última linha de números, temos os coeficientes da resposta. O penúltimo número, o 8, é nosso último termo de nossa função. O -6 i x nosso termo xe 1 é nosso termo x ^ 2. Portanto, nossa resposta é a seguinte.
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Podemos reescrever movendo o fator x -1 para o outro lado desta forma.
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Começamos a simplificar nossa função e descobrimos o primeiro fator da função.
Terminando o Problema
Agora podemos repetir todo o processo, escolhendo outra fração para testar. Mas, desta vez, usaremos a resposta que obtivemos dividindo, nossa função g ( x ) agora. Vamos escolher o número 2 para verificar se esse é um zero de nossa função g ( x ).
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O número 2 é verificado como zero para g ( x ). Isso nos diz que x -2 é um fator de nossa função f ( x ). Portanto, agora usaremos a divisão sintética para dividir g ( x ) por nosso zero para continuar simplificando nossa função.
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Obtemos x -4 como nossa resposta depois de dividir nossa função g ( x ) por nosso zero. Isso nos diz que x -4 é nosso último fator de nossa função f ( x ). Nesse ponto, podemos prosseguir e resolver nosso último zero. Definimos x -4 igual a 0 e resolvemos x para obter x = 4.
Nossa função na forma fatorada pode ser escrita assim.
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E nossos zeros de nossa função são 1, 2 e 4.
Resumo da lição
A análise de zero é o cálculo de todos os zeros de uma função polinomial. As etapas envolvem encontrar frações que consistem em fatores dos coeficientes do último termo e do primeiro termo. As frações são escolhidas para determinar quais são os zeros da função. A divisão sintética é usada para simplificar a função e encontrar mais zeros.
Visão Geral da Análise Zero
| Termos | Definições |
|---|---|
| Análise zero | encontrar todos os zeros ou soluções para uma função particular |
| Coeficientes | os números que você vê na frente das variáveis em cada termo |
Resultados de Aprendizagem
Considere esses fatos sobre análise zero, então:
- Indique o que a análise zero faz
- Use a análise zero para resolver polinômios