Expoentes
Definimos um expoente como a ^ n . Isso significa que a é multiplicado por si mesmo n vezes. É como se você construísse uma copiadora humana. Se você entrar, dois de vocês sairão. Se dois de vocês entrarem, quatro saem. Se quatro de vocês entrarem, 16 saem. Uau, isso é muito de você.
O que está acontecendo com sua máquina? Está multiplicando você por você. Em números puros, 2 ^ 2 é 2 * 2, ou 4. 3 ^ 4 é 3 * 3 * 3 * 3, que é 81. Imagine ter 81 cópias de você. Você poderia ser sua própria banda marcial!
Expoentes Negativos
Mas e quanto a isso: a ^ – n ? -n? Isso é estranho. Também é um expoente negativo . Se um expoente positivo multiplica um número por si mesmo, o que você acha que um expoente negativo faz? Ele multiplica um número por si mesmo enquanto o deixa triste? Não. É o oposto da multiplicação: divisão.
Um expoente negativo leva ao inverso de um número. Em outras palavras, a ^ – n = 1 / a ^ n . 3 ^ -2 não é 3 * 3, mas 1/3 ^ 2. É assim que transformamos expoentes negativos em frações.
| 3 ^ 2 | 1 * 3 * 3 | 9 |
| 3 ^ 1 | 1 * 3 | 3 |
| 3 ^ 0 | 1 | 1 |
| 3 ^ -1 | 1/3 | 0,333 … |
| 3 ^ -2 | 1/3/3 | .111 … |
Uma ótima maneira de lembrar isso é sempre começar com 1. Por quê? Bem, 3 ^ 0 é apenas 1. 3 ^ 1 é como 1 * 3 ou 3, que é 3 vezes maior do que 3 ^ 0. 3 ^ 2 é como 1 * 3 * 3. Isso é 9 ou outras 3 vezes maior.
Isso vai de 0 a 1 a 2. Agora vamos de 0 a -1. 3 ^ -1 é 1/3 ou 0,333 em repetição. Isso é 3 vezes menor que 3 ^ 0. 3 ^ -2 é 1/9 ou 0,111 se repetindo. Isso é 3 vezes menor que 3 ^ -1.
Lembra como usamos nossa máquina mágica com expoentes positivos para fazer cópias de nós mesmos? E se houver um mostrador que altere o expoente positivo para um negativo? Oh, isso não seria bom. Isso seria como um teletransportador dando errado. Se três de vocês entrarem, 1/9 de vocês sairá. Você se tornou uma fração! Espero que seja o melhor 1/9 de vocês.
Prática
Vamos praticar com alguns expoentes negativos para nos sentirmos confortáveis com eles. Que tal 2 ^ -4? Portanto, tomamos o inverso de 2 à quarta potência positiva, ou 1/2 ^ 4. 2 ^ 4 é 2 * 2 * 2 * 2 ou 16. Portanto, 2 ^ -4 é 1/16.
Que tal 8 ^ -1? Primeiro, transforme-o em uma fração, o que torna o expoente positivo: 1/8 ^ 1. Quanto é 8 elevado à primeira potência? É apenas 8. Portanto, nossa resposta é 1/8
Oh, cara, espero que nem todas essas pessoas estejam usando uma copiadora na configuração errada.
Que tal 6 ^ -3? Vamos fazer uma fração. É 1/6 ^ 3. 6 * 6 é 36 e 36 * 6 é 216. Portanto, 6 ^ -3 é 1/216. Hmm, 1/216 de algo realmente não é muito. Se você colocar um gato lá, talvez tenha um bigode. Desculpe, mitenes!
Mas espere. E se você começar com uma fração, como 1/4 ^ -3? Qual é o inverso de um inverso? Bem, é 1/1/4 ^ 3. Você não pode ter uma fração assim. Isso não é xadrez 3D. 1/1 / 4 ^ 3 é 4 ^ 3/1 ou apenas 4 ^ 3. E 4 ^ 3 é 64. Portanto, nossa resposta é 64. Portanto, um expoente negativo no denominador de uma fração nos leva de volta aos números grandes. Em vez do bigode de um gato, agora estamos no território das mulheres loucas.
Que tal mais um desses? 2/5 ^ -2. O que fazemos com esses 2? Bem, nada realmente. Apenas movemos o 5 para o numerador, o que nos dá 2 * 5 ^ 2, ou 2 * 25, que é 50.
Variáveis
Talvez devêssemos adiar mais experimentos conosco ou com nossos animais de estimação. Acho que o cachorro está pirando. Vamos tentar usar variáveis. As variáveis são mais seguras. Nenhum gato é prejudicado quando mudamos variáveis para frações.
Digamos que temos y ^ -5. Felizmente, a lógica dos expoentes negativos não muda. Teríamos 1 / y ^ 5. E, como temos uma variável aqui, não podemos fazer mais nada. Essa é a nossa resposta!
Aqui está um diferente: (2 x ) ^ – 2. Desta vez, o expoente está afetando não apenas o x , mas também o 2. Portanto, vamos convertê-lo em uma fração: 1 / (2 x ) ^ 2. Isso é o mesmo que 1 / (2 ^ 2 * x ^ 2). Não podemos fazer mais com ox , mas podemos transformar 2 ^ 2 em 4. Portanto, nossa resposta final é 1/4 x ^ 2.
Que tal 1 / x ^ -7? Assim como com os números, a fração inverte e temos x ^ 7. Isso não é tão ruim, é?
OK, vamos tentar algo um pouco mais complicado: 7 x y ^ -8. Lembre-se de que o expoente negativo afeta apenas o número ou variável ao qual está anexado. Portanto, quando convertemos y ^ -8 em uma fração, 7 e x permanecem no topo, no numerador. Isso nos dá 7 x / y ^ 8.
Esta seção inteira era muito mais segura.
Resumo da lição
Para resumir, aprendemos sobre expoentes negativos. Um expoente positivo é uma maneira de multiplicar um número por ele mesmo. Um expoente negativo envolve pegar o inverso do número e, em seguida, multiplicá-lo por ele mesmo quando estiver no denominador da fração.
Se o expoente negativo já estiver no denominador, ainda fazemos o inverso, o que significa mover o termo para o numerador.
Agora, como voltar a ter apenas um gato inteiro?
Resultados de Aprendizagem
Após esta vídeo aula, você será capaz de:
- Explique o que é um expoente negativo
- Descreva como transformar um expoente negativo em uma fração
- Resuma o que fazer quando o expoente negativo está no denominador da fração