Introdução: o que é um booleano?
Verdadeiro ou falso? Essa é a questão! (Espere, pensei Ser ou não ser? Era a pergunta …) A álgebra booleana pode ajudar a encontrar a resposta. Antes de nos aprofundarmos na álgebra booleana, vamos atualizar nosso conhecimento no básico booleano.
A álgebra booleana foi criada pelo matemático George Boole (1815-1864) como uma tentativa de tornar precisas as regras da lógica . No século XX, entretanto, ele encontrou usos incríveis em campos como a computação digital.
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Como na álgebra regular , a álgebra booleana usa letras para representar valores e certos símbolos para representar operações nesses valores. No entanto, existem apenas dois valores possíveis na álgebra booleana: Verdadeiro (1) ou Falso (0). Além disso, as operações na álgebra booleana não são exatamente como a adição, subtração, multiplicação ou divisão que estamos acostumados a ver na álgebra. Em vez disso, usamos AND, OR, NOT e operações semelhantes.
Operações e tabelas da verdade
Qualquer variável booleana, p , q , r , etc., pode assumir o valor 1 ou 0. Esse valor é chamado de valor verdadeiro (1 significa Verdadeiro e 0 significa Falso ). As letras podem representar declarações específicas. Por exemplo, p poderia estar para o céu é azul e q pode repousar durante 5 = 6 . Claramente, p é verdadeiro ( p = 1) eq é falso ( q = 0).
Uma tabela verdade pode ser usada para definir cada operação. Em sua forma mais simples, uma tabela verdade lista todos os valores possíveis para cada variável em uma linha separada. Apenas uma variável significa que há apenas dois valores possíveis para ela e, portanto, há duas linhas. Se houver duas variáveis, haverá 4 combinações, portanto, 4 linhas. Três variáveis terão 8 linhas (2 3 ). E, em geral – você adivinhou – o número de linhas continua dobrando à medida que mais variáveis são introduzidas, de modo que se houver n variáveis, a tabela conterá 2 n linhas!
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Combinando declarações
Expressões ou instruções podem ser construídas combinando variáveis booleanas com as operações definidas acima. Então, poderíamos perguntar se o resultado é verdadeiro ou falso. Seguindo o exemplo acima, p AND q representaria The sky is blue e 5 = 6. Observe que p AND q é falso (o céu pode ser azul, mas 5 definitivamente não é igual a seis). Se, entretanto, tivéssemos considerado p OR q ( O céu é azul ou 5 = 6 ), então o valor geral da afirmação é True (pelo menos uma parte tinha que ser verdadeira ao lidar com OR).
Ou?
Uma palavra de cautela, a operação OU não está realmente expressando uma escolha. Por exemplo, se P = O céu é azul e r = 1 + 1 = 2 , então p ou q = 1. Em outras palavras, p ou q é avaliada como verdadeira desde que um ou ambos dos p ou q são True. Isso é chamado de ou inclusivo , em oposição a ou exclusivo .
Embora não seja necessário para esta lição, há uma operação para XOR exclusivo ou escrito . O valor verdade de p XOR q será 0 (Falso) se p e q forem o mesmo valor verdade, e 1 (Verdadeiro) se eles diferirem em valores verdade.
Próximos passos
Fácil, certo? Mas e se precisarmos saber o valor de verdade de: NÃO (NÃO p E q ) E ( p OU q )? Bem, é aqui que entra a álgebra . (A propósito, você sabia que a palavra álgebra significa simplesmente um método ou conjunto de regras ?)
As regras da álgebra booleana
Vamos falar sobre as regras, começando com uma fácil, a Regra da Dupla Negativa .
Negativos duplos
Já ouviu alguém dizer: » Não vi ninguém »? Então essa pessoa deve ter uma visão excelente, porque sua afirmação equivale a Eu vi todo mundo . O negativo duplo, NÃO (NÃO p ) é equivalente a p .
Mais regras
O gráfico abaixo pode parecer um pouco assustador no início, mas cada regra é baseada em alguma ideia de senso comum da lógica. Cada um deles desempenha um papel na reescrita e na redução de expressões booleanas complicadas a algo mais gerenciável.
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Exemplos
Vamos usar as regras apropriadas para simplificar: NOT (NOT p AND q ) AND ( p OR q ).
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Palavras diferentes, mesmas ideias
Você pode ver algumas palavras bonitas por aí que simplesmente representam as três operações mencionadas aqui. E é chamado de conjunção . OU é chamado de disjunção . NÃO é chamado de negação . Por exemplo, se você for solicitado a escrever a negação de O céu é azul , você deve escrever NÃO ( O céu é azul ) ou O céu não é azul (talvez seja cinza porque está chovendo!).
Além disso, a Lei de De Morgan às vezes é chamada de Teorema de De Morgan . Não há distinção entre Lei e Teorema aqui – ambas as palavras significam uma ‘declaração ou fórmula matemática válida’.
Resumo da lição
Ok, então o que aprendemos aqui? Bem, agora podemos responder a Shakespeare quando ele perguntou: Ser ou não ser? A resposta é Sim , pois p OU (NÃO p ) é equivalente a 1 pela Regra Inversa! (Ok, talvez não seja bem isso que Shakespeare pretendia). Agora temos as ferramentas para simplificar qualquer expressão booleana complicada, passo a passo, usando as regras, leis e teoremas da álgebra booleana.