A relação entre o triângulo de Pascal e as combinações
Já reparou na variedade de sumos de fruta vendidos no supermercado? Existem todos os tipos de combinações, como manga-banana-laranja e maçã-morango-laranja. Jeremy se pergunta quantas combinações diferentes podem ser feitas a partir de cinco frutas. Seu plano é fazer três de cada vez. Este número de combinações está relacionado aos números que aparecem no triângulo de Pascal.
Contando o Número de Combinações
Uma combinação é um agrupamento de itens de uma coleção maior desses itens. No exemplo dos sucos de frutas, a coleção maior de Jeremy de 5 frutas poderia ser: maçã, laranja, banana, morango e manga. Ele planeja fazer 3 de cada vez. Não importa a ordem em que os frutos são combinados; o suco terá o mesmo sabor. Além disso, não haverá repetição da mesma fruta para uma combinação específica de suco. Jeremy quer três frutas distintas em cada combinação. Quando a ordem não importa, temos uma combinação. Algumas combinações têm repetição e outras não. No caso de Jeremy, a ordem das frutas não importa e não há repetição. Apenas por diversão, vamos listar todas as possibilidades:
1. Maçã-Laranja-Banana
2. Maçã-Laranja-Morango
3. Maçã-Laranja-Manga
4. Maçã-Banana-Morango
5. Maçã-Banana-Manga
6. Maçã-Morango-Manga
7. Laranja-Banana-Morango
8. Laranja-Banana-Manga
9. Laranja-Morango-Manga
10. Banana-Morango-Manga
Isso nos dá 10 combinações de sucos de frutas.
A fórmula matemática para o número de combinações sem repetição é N ! / ( N ! ( N – n )!). No caso de Jeremy, N é 5 e n = 3. Assim, o número de combinações é 5! / (3! (5-3)!). O ponto de exclamação significa fatorial e 3! = 3 (2) (1) = 6. Os 5! = 5 (4) (3) (2) (1) = 120 e (5-3)! é 2! = 2 (1) = 2. Assim, o número de combinações é 5! / ((3!) (5-3)!) = 120 / ((6) (2)) = 120/12 = 10.
Uma maneira curta de escrever o número de combinações é
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Isso é lido como » N take n » e é avaliado usando fatoriais. Por exemplo, se Jeremy decidir incluir quatro frutas em cada combinação de suco, isso será 5 levar 4:
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Veja como 4! É 4 (3) (2) (1) = 24. Além disso, é fácil ver que 5 é o número correto de combinações de suco possíveis: Maçã-Laranja-Banana-Morango, Maçã-Laranja-Banana-Manga, Maçã-Laranja- Morango-Manga, Maçã-Banana-Morango-Manga e Laranja-Banana-Morango-Manga.
Triângulo de Pascal
Para construir o triângulo de Pascal , comece com 1. Então, na próxima linha, escreva 1 e 1. É bom ter espaçamento entre os números. Na terceira linha, temos 1 e 1 nas encostas externas. O 2 vem da soma dos dois números acima e adjacentes. Portanto, estamos adicionando o número à esquerda, 1, com o número à direita, 1, para obter 1 + 1 = 2.
Na próxima linha, o 3 vem da adição do 1 e do 2. Este triângulo de Pascal em particular parou em 1 5 10 10 5 1, mas poderíamos ter continuado indefinidamente.
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A linha superior é chamada de » linha 0 » e o primeiro número à esquerda em cada linha é o » 0»ésimo número. Lembra como 5 take 3 é 10? Conte o triângulo de Pascal até chegar à linha 5 (começando com 0 para a primeira linha). Então, começando da esquerda, conte até a 3ª posição (o primeiro número está na posição 0). Que número você vê? Certo, é 10, o mesmo resultado calculado usando fatoriais.
Que tal o número de combinações para 5 levar 4? Quinta linha novamente, mas mais um lugar à direita. Há um 5 ali, que concorda com os 5 calculados usando fatoriais.
Cada número no triângulo de Pascal é o número de combinações para N tomar n . Para resumir isso, aqui está a notação de combinação colocada em cada local do triângulo de Pascal.
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Quando você vir 5 com 0, sabe que o número de combinações será 5! / (0! 5!). Por definição, o fatorial de zero é um. Ou seja, 0! = 1. Portanto, o número de combinações para 5 tomar 0 é 5! / (0! 5!) = 5! / (1 (5!)) = 5! / 5! = 1 conforme esperado.
Você também pode ver que 4 leva 1 e 4 leva 3 sendo ambos iguais a 4. Isso ocorre porque 4 leva 1 é 4! / (1! 3!) E 4 leva 3 é 4! / (3! 1!), Que são claramente o mesmo. E 4! / (1! 3!) = 4! / 3! = 4. Nota 1! É 1 por definição.
Tudo isso deixa Jeremy confiante em seus cálculos do número de combinações. Ele pode obter uma resposta com a fórmula de combinações usando fatoriais e verificar novamente com o triângulo de Pascal.
Resumo da lição
Quando a ordem não importa, temos uma combinação . As combinações podem ter repetição ou nenhuma repetição. Sem repetição, o número de combinações é N ! / ( N ! ( N – n )!) Onde o fatorial é o produto de um número vezes um a menos que o número, vezes 2 a menos que o número … todo o caminho até chegamos a 1. Por definição, 1! e 0! ambos são iguais a 1. As entradas no triângulo de Pascal são na verdade o número de combinações de N pegue n onde N é o número da linha começando com N = 0 para a linha de cima e n é o nº número na linha contando da esquerda para a direita, onde o número n = 0 é o primeiro número.