Conjuntos de números e a propriedade de fechamento
Fique animado porque estamos prestes a aprender sobre uma propriedade realmente divertida dos números reais – a propriedade de fechamento dos números reais. Esta propriedade é divertida de explorar. Isso nos dá a chance de nos familiarizarmos mais com os números reais. Antes de chegarmos à propriedade de fechamento real dos números reais, vamos nos familiarizar com o conjunto de números reais e a propriedade de fechamento em si.
É provável que você esteja familiarizado com os números. Afinal, você os usa todos os dias de uma forma ou de outra. No entanto, você sabia que os números realmente têm classificações?
Quando classificamos diferentes tipos de números usando diferentes propriedades desses números, os chamamos de conjuntos . Podemos dividir todos os números em conjuntos de números naturais, números inteiros, inteiros, números racionais, números irracionais, números reais e números imaginários. Todos estão definidos na seguinte imagem:
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Nesta lição, trabalharemos com números reais. Pela imagem, vemos que os números reais consistem em todos os conjuntos de números com os quais normalmente trabalhamos.
Ou seja, eles incluem:
- Os números naturais {1,2,3, …}
- Os números inteiros {0,1,2,3, …}
- Os inteiros {…, – 3, -2, -1,0,1,2,3, ….}
- Os números racionais { p / q , onde p e q são inteiros}, e
- Os números irracionais {todos decimais não repetitivos e não terminais}
Na verdade, os números reais consistir de todos os conjuntos de números, excepto os números imaginários { um + b i , onde um e b são números reais e i = sqrt (-1)}. É por isso que são chamados de números reais – não são imaginários!
Agora que estamos familiarizados com os números reais, vamos explorar algumas propriedades específicas desses números. Estamos falando sobre propriedades de fechamento . Diz-se que um conjunto de números está fechado em uma determinada operação se, quando essa operação for realizada em dois números do conjunto, obtivermos outro número desse conjunto como resposta.
Propriedades de fechamento de números reais
Os números reais são fechados em duas operações – adição e multiplicação. Também poderíamos dizer que os números reais são fechados sob subtração e divisão, mas isso é realmente coberto pela adição e multiplicação porque podemos transformar qualquer problema de subtração ou divisão em um problema de adição ou multiplicação, respectivamente, devido à natureza dos números reais.
Dito isso, você pode se perguntar sobre o número 0 quando se trata de divisão, porque não podemos dividir por 0. Bem, aqui está um fato interessante! Como x / 0 é considerado indefinido, os números reais são fechados por divisão, e acontece que a divisão por zero foi definida dessa forma para que os números reais pudessem ser fechados por divisão.
Vamos dar uma olhada nas propriedades de fechamento de adição e multiplicação de números reais. Como os números reais são fechados com adição, se somarmos dois números reais, sempre obteremos um número real como nossa resposta. Isso é mostrado na imagem abaixo, com z sendo nosso número real:
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Como dissemos antes, qualquer problema de subtração de números reais pode ser transformado em um problema de adição e, como os números reais são fechados na adição, também podemos ter certeza de que eles são fechados na subtração. A mudança de subtração para adição é feita da seguinte maneira:
x – y = x + (- y )
Os números reais também são fechados na multiplicação, portanto, se multiplicarmos quaisquer dois números reais juntos, a resposta será um número real, conforme mostrado nesta imagem:
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Novamente, mencionamos que qualquer problema de divisão de números reais pode ser transformado em um problema de multiplicação de números reais, portanto, os números reais também são fechados sob divisão (excluindo a divisão por 0, uma vez que é indefinida). Alterar a divisão para multiplicação é feito da seguinte maneira:
x / y = x * (1 / y )
Exemplo
Vamos experimentar um breve exemplo:
Suponhamos que você esteja equilibrando os livros de sua empresa e trabalhando com números reais. A adição e a multiplicação são adequadas porque você sabe que obterá um número real de volta, e os números reais fazem sentido quando se trata de dinheiro.
Porém, e se você acabasse tentando aplicar a operação de tirar a raiz quadrada. Suponha que você acabou com o número real -11. Isso faz sentido em termos de dinheiro, significa que você está com onze dólares no buraco, mas suponha que você tirou a raiz quadrada desse número:
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Ups! Como você pode ver, você acabou com sqrt (11) * i , que é um número imaginário. Isso ocorre porque os números reais não são fechados durante a operação de obter a raiz quadrada. Você não pode ter uma quantidade imaginária de dinheiro. Números imaginários não fazem sentido quando se trata de valor monetário. Vemos a importância de saber quais operações resultarão em números que façam sentido em um determinado cenário.
Resumo da lição
Vamos levar alguns minutos para revisar o que aprendemos. Os números reais são todos os números com os quais trabalhamos normalmente. Ou seja, inteiros, frações, números racionais e irracionais e assim por diante. As propriedades de fechamento dizem que um conjunto de números é fechado sob uma determinada operação se e quando essa operação for realizada em números do conjunto, obteremos outro número desse conjunto de volta.
Os números reais são encerrados com adição e multiplicação. Por causa disso, segue-se que os números reais também são fechados sob subtração e divisão (exceto divisão por 0).
Estar familiarizado com os diferentes conjuntos de números e as operações sob as quais eles estão fechados é extremamente útil ao lidar com diferentes tipos de números no mundo real. Quanto mais familiarizado você estiver com os diferentes tipos de números e suas propriedades, mais fácil será trabalhar com eles em situações do mundo real.