A hipérbole
O que é uma hipérbole ? Ele pode ser simplesmente descrito como dois arcos um após o outro. Por que você precisa aprender sobre hipérboles? Eles são importantes para aprender porque são uma das formas que você obtém ao cortar um cone. Imagine duas casquinhas de waffle de sorvete, uma em cima da outra, com as pontas se tocando no meio. Pegue uma faca e corte-a de forma a cortar os dois cones. A forma que resta é o que chamamos de hipérbole.
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Como acontece com muitas coisas na álgebra, existe uma equação para descrever essa forma. E porque isso é álgebra, essa equação realmente nos ajuda a descrever nossa hipérbole com precisão. Também podemos extrair dela muitas informações úteis e podemos representar graficamente nossa hipérbole apenas observando os números e fazendo um pouco de matemática básica.
Então vamos começar.
A equação padrão de uma hipérbole que usamos é ( x – h ) ^ 2 / a ^ 2 – ( y – k ) ^ 2 / b ^ 2 = 1 para hipérboles que se abrem para os lados. Se nossa hipérbole abre para cima e para baixo, então nossa equação padrão é ( y – k ) ^ 2 / a ^ 2 – ( x – h ) ^ 2 / b ^ 2 = 1.
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Como você pode se lembrar disso? Observe que h está sempre ligado com ox e k com y . Você pode pensar que h vem antes de k, assim como x vem antes de y , então h com x e k com y . O a ^ 2 sempre vem antes de b ^ 2. Se você estiver subtraindo a parte y , sua hipérbole ficará para o lado, mas se você estiver subtraindo a parte x , sua hipérbole ficará vertical. Como você sabe, nossos variáveis são x ey . As letras h , k , a e b estão lá para nos ajudar a descrever a nossa hipérbole, como vamos chegar a ver.
Dois vértices
Como nossa hipérbole é composta por dois arcos, teremos dois vértices , que são as pontas dos arcos. Podemos encontrar esses vértices observando nossos valores h , k e a . Começamos por olhar para os nossos h e k números. Ao colocar as letras juntas como em (h, k) , obtemos a localização do ponto central entre os dois arcos, que é o centro de nossa hipérbole. A um número nos diz que os vértices são de que muitos espaços de distância do centro em qualquer direção.
Se nosso x vem primeiro em nossa equação, então vamos um espaço para a esquerda para encontrar uma ponta e um espaço para a direita para encontrar a outra ponta. Se y vier primeiro, então subimos um espaço para cima para encontrar uma ponta e um espaço para baixo para encontrar a outra ponta.
Por exemplo, se nossa equação é ( x – 4) ^ 2/4 – ( y – 2) ^ 2/9 = 1, vemos que nosso h é igual a 4, nosso k é igual a 2, nosso a é igual a 2 porque 2 ^ 2 é igual a 4 e nosso b é 3, pois 3 ^ 2 é igual a 9. Encontramos esses valores comparando nossa equação com a forma padrão e vendo quais números estão no mesmo lugar que as letras com as quais estamos preocupados. Portanto, como nosso h é 4 e nosso k é 2, nosso centro é (4, 2). Como nosso a é 2 e nosso x aparece primeiro, nossas dicas são 2 espaços à esquerda do centro e 2 espaços à direita. Portanto, nossos vértices são (2, 2) e (6, 2).
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Observe como subtraímos 2 do nosso valor x no ponto central para encontrar nossa ponta à esquerda e adicionamos 2 ao nosso valor x para encontrar a ponta à direita. Se a nossa y apareceu pela primeira vez em nossa equação, então poderíamos subtrair nosso um valor a partir do y valor do nosso ponto central para encontrar uma dica e, em seguida, adicione a um valor à y valor para encontrar a outra ponta.
Dois Focos
Além de nossos dois vértices, também temos dois pontos de foco, ou focos. Existe um foco para cada arco. O foco é o ponto para cada arco em que a proporção da distância de qualquer ponto do arco para o foco e a distância desse ponto para uma linha reta é a mesma para todos os pontos do arco.
Para encontrar esse ponto, usamos a fórmula c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. Nós conectar o um e b termos de nossa equação padrão para uma hipérbole e, em seguida, resolver para c . Se nosso x aparecer primeiro em nossa equação padrão, então adicionamos e subtraímos esse valor c do valor x de nosso ponto central para encontrar os focos. Se nosso valor y aparecer primeiro em nossa equação padrão, então adicionamos e subtraímos nosso valor c do valor y de nosso ponto central para encontrar os focos.
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Para continuar nosso exemplo, uma vez que nosso a é 2 e nosso b é 3, nosso c pode ser encontrado resolvendo c ^ 2 = 2 ^ 2 + 3 ^ 2. Para resolver c , primeiro calculamos os quadrados de nossos números. Recebemos c ^ 2 = 4 + 9 = 13. Então tomamos a raiz quadrada que nossa c = 3,6056. Vamos adicionar e subtrair este valor de c para e de nosso valor x de nosso ponto central para encontrar nossos focos, uma vez que nosso x aparece primeiro em nossa equação padrão. Fazendo isso, obtemos nossos focos de (0,3944, 2) e (7,6056, 2).
Representando graficamente uma hipérbole
Para representar graficamente nossa hipérbole, usaremos nossas duas dicas que encontramos anteriormente e agora usaremos nosso valor b . Nós utilizamos o nosso um valor para encontrar as pontas dos nossos arcos; agora, usaremos o valor b para nos ajudar a representar graficamente nossa hipérbole. Se as pontas de nossos arcos forem horizontais entre si, usaremos nosso valor b para encontrar dois pontos acima e abaixo de nosso centro. Se as pontas do nosso arco forem verticais entre si, usaremos nosso valor b para encontrar dois pontos à esquerda e à direita do nosso centro.
Para fazer isso, adicionamos e subtraímos nosso valor b de e para o valor y de nosso ponto central para encontrar os pontos acima e abaixo do centro. Para encontrar os pontos à esquerda e à direita de nosso centro, adicionamos e subtraímos nosso valor b do valor x de nosso ponto central.
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Depois de fazer isso, teremos quatro pontos totais ao redor do centro. Usamos esses pontos como a localização dos lados de um retângulo que faz fronteira com nosso centro.
Assim que tivermos nosso retângulo, podemos desenhar e estender as duas diagonais. Essas linhas diagonais nos dizem a que distância nossas curvas de arco. Podemos desenhar nosso arco de forma que passe pela ponta e depois se aproxime das linhas diagonais que desenhamos sem cruzá-lo.
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Em nosso exemplo, nosso b é igual a 3. Como nossas pontas de arco são horizontais entre si, adicionaremos e subtrairemos nosso valor de b para e do valor y de nosso ponto central. Fazendo isso, descobrimos que nossos outros dois pontos são (4, -1) e (4, 5). Agora temos quatro pontos. Podemos prosseguir e desenhar um retângulo com lados que passam por nossos quatro pontos. Em seguida, desenhamos as diagonais e estendemos as linhas. Terminamos então desenhando nossa hipérbole para que os arcos passem por suas pontas e se aproximem das diagonais sem se cruzarem.
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Resumo da lição
O que aprendemos? Aprendemos que uma hipérbole se parece com dois arcos um após o outro. Também aprendemos que a equação padrão de uma hipérbole é ( x – h ) ^ 2 / a ^ 2 – ( y – k ) ^ 2 / b ^ 2 = 1 para hipérboles que se abrem para os lados. Se nossa hipérbole se abre para cima e para baixo, nossa equação padrão é ( y – k ) ^ 2 / a ^ 2 – ( x – h ) ^ 2 / b ^ 2 = 1. Nossa hipérbole tem um centro dado pelo ponto ( h , k ).
Nossa hipérbole também possui dois vértices , ou pontas. Para hipérboles que se abrem para os lados, os vértices são dados pelos pontos ( h + a , k ) e ( h – a , k ). Para hipérboles que se abrem para cima e para baixo, os vértices são dados pelos pontos ( h , k + a ) e ( h , k – a ).
Nossa hipérbole também tem dois pontos de foco , ou focos. Para hipérboles que se abrem para os lados, os focos são dados pelos pontos ( h + c , k ) e ( h – c , k ) onde c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. Para hipérboles que se abrem para cima e para baixo, os focos são dados pelos pontos ( h , k + c ) e ( h , k – c ).
Para representar graficamente nossa hipérbole, usamos o valor b de nossa equação padrão para traçar dois outros pontos além de nossos vértices. Para hipérboles que se abrem para os lados, esses dois pontos são ( h , k + b ) e ( h , k – b ). Para hipérboles que se abrem para cima e para baixo, os pontos são ( h + b , k ) e ( h – b , k) Uma vez que temos quatro pontos, podemos desenhar um retângulo com lados que passam por cada um desses pontos. Em seguida, desenhamos duas diagonais e as estendemos. Então, podemos desenhar nossas hipérboles de modo que elas se aproximem de nossas linhas diagonais e passem por suas pontas.
Resultados de Aprendizagem
Você deve ser capaz de fazer o seguinte após esta lição:
- Identifique a forma de uma hipérbole
- Lembre-se da equação padrão para uma hipérbole que abre para os lados e para uma que abre para cima ou para baixo
- Defina vértices e focos e explique como encontrá-los
- Explicar como representar graficamente uma hipérbole