Relações
Você já fez um cobertor? Se sim, então você sabe que é necessário tecido para fazer isso. Suponha que você esteja fazendo um cobertor costurando amostras de tecido. Você vai à loja e há uma liquidação dessas amostras. Você recebe três amostras por $ 4,00, independentemente de comprar uma, duas ou três, e cada amostra depois disso custa um adicional de $ 2,00. A quantidade de dinheiro que você gasta está relacionada a quantas amostras você compra. Em matemática, este é um exemplo de relação. Uma relação consiste em dois conjuntos de elementos chamados entradas e saídas, onde a entrada está relacionada à saída de alguma forma. Em nosso exemplo, o custo é a entrada e o número de amostras é a saída. Também podemos representar a relação usando pares ordenados da seguinte maneira.
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Vemos que, nessa relação, quando temos uma entrada de 4, temos uma saída de 1, 2 ou 3. Isso nos diz que se você gastou $ 4, comprou 1, 2 ou 3 amostras de tecido. Da mesma forma, quando temos uma entrada de 8, temos uma saída de 5. Isso nos diz que, se você gastou $ 8, comprou 5 amostras de tecido.
Funções
Agora, suponha que você vá comprar suas amostras em um dia em que a loja não esteja em liquidação. Como não há venda, as amostras custam $ 2 a peça.
Isso cria uma relação com diferentes entradas e saídas. Isso também pode ser representado usando pares ordenados da seguinte maneira.
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O custo ainda é nossa entrada e o número de amostras ainda é nossa saída. No entanto, este é um tipo especial de relação. Você notou algo diferente neste exemplo inicial? Vou te dar uma dica. Tem a ver com os três primeiros pares ordenados da relação.
Na primeira relação, quando havia uma venda, os três primeiros pares ordenados tinham todos a mesma entrada com saídas diferentes. Nessa relação, quando não há venda, cada insumo tem um e apenas um produto. Quando for esse o caso, chamamos a relação de função. Em matemática, uma função é uma relação em que nenhuma entrada se relaciona a mais de uma saída. Em nosso exemplo, diríamos que o número de amostras que você compra é uma função do custo.
Determinando Funções
Como acabamos de ver, a diferença entre uma relação que é uma função e uma relação que não é uma função é que uma relação que é uma função tem entradas relacionadas a uma e apenas uma saída. Quando uma relação não é uma função, esse não é o caso.
Então, como podemos determinar se uma relação é uma função? Uma boa maneira de fazer isso é considerar a frase ‘é uma função de’ como ‘é determinado por’. Quando estamos lidando com uma função, toda saída é determinada por sua entrada.
Vamos considerar nossos exemplos de amostra. Quando não houve uma venda, descobrimos que a relação entre custo e número de amostras era uma função. Ou seja, o número de amostras que você compra ‘é uma função’ do custo. Assim, o número de amostras que você compra ‘é determinado’ pelo custo. Portanto, se eu dissesse que seu custo total seria de $ 4, você poderia me dizer, com total certeza, que estava comprando 2 amostras de tecido. Da mesma forma, se eu dissesse que o custo total seria de $ 8, você poderia me dizer que obteria 4 amostras. Isso ocorre porque cada entrada (ou custo) tem exatamente uma saída (ou número de amostras).
Agora, pense no primeiro exemplo de amostra, quando houve uma venda. Se eu dissesse que seu custo seria de $ 4, você seria capaz de determinar quantas amostras está comprando? A resposta é não! Você não poderia, porque $ 4 está relacionado a 1, 2 e 3 amostras. Você não tem como determinar se estava obtendo 1, 2 ou 3 amostras, portanto, o número de amostras ‘não é determinado pelo’ custo. Assim, o número de amostras ‘não é uma função’ do custo. Isso ocorre porque a entrada 4 tem mais de uma saída, a saber, 1, 2 e 3.
Em geral, podemos determinar se uma relação é uma função observando suas entradas e saídas. Se uma entrada tem mais de uma saída, a relação não é uma função. Se cada entrada tem exatamente uma saída, então a relação é uma função.
Exemplo
Considere esta relação:
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O que você acha? Essa relação é uma função? Vamos pensar sobre isso. Se eu der uma entrada, você pode determinar a saída? Em outras palavras, cada entrada tem exatamente uma saída? Se você disse sim, então você está correto!
Cada entrada tem exatamente uma saída, e se eu der uma entrada, você pode determinar a saída. Portanto, essa relação é uma função.
Resumo da lição
Uma relação é um conjunto de entradas e saídas que estão relacionadas de alguma forma. Quando cada entrada em uma relação tem exatamente uma saída, a relação é considerada uma função . Para determinar se uma relação é uma função, certificamo-nos de que nenhuma entrada tem mais de uma saída. Para que uma relação seja uma função, devemos ser capazes de determinar uma saída dada uma entrada. Uma boa maneira de lembrar isso é pensar em ‘é uma função de’ como ‘é determinado por’.
Relações e funções são uma grande parte da matemática, então é extremamente útil estar familiarizado com o conceito de ambas, bem como ser capaz de distinguir entre as duas. Agora estamos um pouco mais familiarizados com ambos.