Biología

Como resolver sistemas lineares usando eliminação de Gauss

Sistemas Lineares

Em matemática, encontramos equações por si mesmas com apenas uma variável que temos que resolver. E então temos sistemas lineares , uma coleção de equações lineares. Suas equações lineares são equações com variáveis ​​que não possuem expoentes. Portanto, 3 x + 4 x = 5 é um exemplo de equação linear, assim como x + 3 y – 4 z = 3.

Precisamos de uma equação para cada variável em nosso sistema a fim de resolver o sistema. Portanto, se temos duas variáveis, precisamos de duas equações. Se temos três variáveis, precisamos de três equações e assim por diante. Nesta vídeo-aula, aprenderemos como usar a eliminação de Gauss , um método para resolver um sistema de equações, para nos ajudar a resolver nosso sistema linear. Este método requer que saibamos como transformar nosso sistema linear em forma de matriz e, em seguida, usar manipulações de matriz simples. Vejamos como resolver este sistema linear usando a eliminação Gaussiana:

Eliminação gaussiana

Matriz Aumentada

Lembre-se de que uma matriz é apenas uma matriz retangular de valores colocados em linhas e colunas. Primeiro, precisamos transformar nosso sistema linear em forma de matriz, transformando-o em uma matriz aumentada. Uma matriz aumentada é a combinação de duas matrizes. Em nosso caso, temos uma matriz para os coeficientes do lado esquerdo da equação e outra para o lado direito da equação.

Lembre-se de que transformar um sistema de equações em forma de matriz envolve isolar apenas os coeficientes junto com seus sinais apropriados depois de organizá-los de forma que o termo x seja primeiro seguido pelo termo y seguido pelo termo z , o sinal de igual e então a constante. Podemos usar uma linha vertical, ou vários pontos em uma linha vertical, para representar nosso sinal de igual. Nosso sistema linear já está organizado adequadamente, então tudo o que precisamos fazer é isolar nossos coeficientes. Nossa primeira linha terá 1, 1, 1, | e então 5. Nossa segunda linha tem 2, 0, -1, | e 4. Nossa terceira linha tem 0, 3, 1, | e 2. Nossa matriz tem a seguinte aparência:

Eliminação gaussiana

Eliminação gaussiana

Agora podemos usar a eliminação gaussiana para nos ajudar a resolver esse sistema linear. A eliminação gaussiana consiste em manipular a matriz aumentada até que tenhamos a matriz que representa o lado esquerdo das equações na forma triangular superior . O que isso significa é que queremos todos os zeros abaixo da diagonal principal. Esta diagonal principal começa na parte superior esquerda e termina na parte inferior direita da matriz de coeficientes. Em outras palavras, queremos manipular a matriz de forma que o 2 na segunda linha e o 0 e 3 na terceira linha sejam todos 0s.

Para transformar esses números em 0s, usaremos nossas operações de linha de matriz. Para transformar nosso primeiro 2 em 0, multiplicamos nossa primeira linha por -2 e, em seguida, o adicionamos à segunda linha para criar uma nova segunda linha. Obtemos uma nova segunda linha de 0, -2, -3, | e -6. Agora, para transformar o 3 da terceira linha em 0, usaremos esta nova segunda linha combinada com a terceira linha. Multiplicaremos a segunda linha por 3 e a adicionaremos à terceira linha multiplicada por 2. Obtemos uma nova terceira linha de 0, 0, -7, | e -14.

Eliminação gaussiana

Não reescrevemos a primeira linha porque não precisamos alterar essa equação. Nós apenas multiplicamos a primeira linha por 3 apenas para que possamos subtraí-la da segunda linha. Lembre-se de que em álgebra, sempre que multiplicamos uma equação por qualquer constante, a equação não muda em nada; os números apenas ficam maiores por um fator.

Agora que temos zeros abaixo da diagonal principal, concluímos o uso da eliminação gaussiana. Agora podemos prosseguir e resolver nosso sistema linear.

Resolvendo o Sistema

Observe como é fácil resolver agora. Se escrevermos nossas equações lineares, obteremos x + y + z = 5, -2 y – 3 z = -6 e -7 z = -14. Podemos resolver imediatamente a terceira equação para z para obter z = -14 / -7 = 2. Podemos então substituir esse valor por z na segunda equação para resolver para a próxima variável, y . Obtemos -2 y – 3 (2) = -6. Isso se transforma em -2 y – 6 = -6. Para resolver para y , adicionamos 6 a ambos os lados e obtemos -2 y = 0. Dividindo ambos os lados por -2, obtemos y= 0. Portanto, agora temos y = 0 e z = 2. Para resolver nossa última variável, x , podemos usar nossa primeira equação. Conectando esses dois valores, obtemos x + 0 + 2 = 5. Resolvendo isso para x , obtemos x = 3. Portanto, nossa resposta final é x = 3, y = 0 e z = 2. Também podemos escrever isso na forma de pontos, como este: (3, 0, 2).

Resumo da lição

Vamos revisar o que aprendemos. Aprendemos que sistemas lineares são coleções de equações lineares. Um sistema linear tem o mesmo número de equações e variáveis, uma vez que precisamos de uma equação para cada variável a fim de resolver tal sistema de equações. O método de que falamos nesta lição usa a eliminação gaussiana , um método para resolver um sistema de equações, que envolve a manipulação de uma matriz de forma que todas as entradas abaixo da diagonal principal sejam zero. A forma triangular superior é o termo usado para descrever uma matriz que tem todos os zeros abaixo da diagonal principal. Em seguida, usamos álgebra e substituição para terminar de resolver nosso sistema de equações.

Resultados de Aprendizagem

Concluir esta lição pode prepará-lo para:

  • Recite as definições de sistemas lineares, matriz aumentada e forma triangular superior
  • Demonstrar o uso do método de eliminação de Gauss para resolver um sistema de equações