A Matriz Multiplicativa Inversa
O inverso multiplicativo de uma matriz é a matriz que fornece a matriz de identidade quando multiplicada pela matriz original. Em matemática símbolo falar, temos Um * A sup -1 = I . Isso lhe diz que, ao multiplicar uma matriz A com sua inversa multiplicativa, você obterá a matriz identidade.
Sim, escrevemos o inverso com um sobrescrito de -1. Quando lidamos com números regulares, nosso inverso multiplicativo é o número pelo qual multiplicamos para obter 1. Portanto, para o número 2, é 1/2. Para o número -3, o inverso multiplicativo é -1/3. Para nossos números normais, o inverso multiplicativo é simplesmente 1 dividido pelo nosso número.
Infelizmente, nem todas as matrizes terão um inverso, nem é tão simples encontrar o inverso multiplicativo. Para encontrar o inverso multiplicativo, temos que encontrar a matriz para a qual, quando a multiplicamos com nossa matriz, obtemos a matriz identidade. Nossas matrizes também devem ser quadradas, com o mesmo número de linhas e colunas.
Vamos deixar a discussão sobre como encontrar o inverso de uma matriz para outra lição. Para esta lição, falaremos sobre seus benefícios. Veja, é útil aprender sobre o inverso multiplicativo de uma matriz porque, se o soubermos, podemos usá-lo para nos ajudar a resolver equações com matrizes.
Uma equação matricial
Por exemplo, podemos usá-lo para resolver um problema como este:
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Esta equação de matriz está na forma de Ax = b , onde A é sua matriz de coeficientes, x é sua matriz de variável e b é sua matriz de resposta. Embora possamos usar outros métodos para resolver esse problema, se conhecermos o inverso multiplicativo de nossa matriz de coeficientes, então podemos resolver facilmente o problema simplesmente multiplicando ambos os lados pelo inverso.
Portanto, se soubéssemos A sup -1, nossa resposta seria x = A sup -1 * b . Sim, nossa resposta seria nossa matriz de respostas, b , multiplicada pelo inverso multiplicativo de nossa matriz de coeficientes. Vamos ver como isso funciona. Para nossa matriz de coeficiente, temos esta matriz como a matriz inversa multiplicativa:
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Podemos verificar se esse inverso é real ou não, multiplicando-o por nossa matriz de coeficientes para ver se obtemos a matriz de identidade. Multiplicando as duas matrizes, vemos que obtemos a matriz de identidade:
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Agora sabemos com certeza que esse inverso é o inverso real e funciona para nós.
Usando o Multiplicativo Inverso
Para usar esse inverso para nos ajudar a encontrar nossa resposta, simplesmente multiplicamos o inverso pelo lado direito do nosso problema. Então, temos isso:
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Em símbolos matemáticos, temos x = A sup -1 * b . Vamos em frente e multiplicamos as matrizes juntas. Da linha superior, obtemos 1 (11) + -2 (5) = 11 – 10 = 1. Para a linha inferior, obtemos -1/2 (11) + 3/2 (5) = -11/2 + 15/2 = 4/2 = 2. Agora, temos isto:
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Nossa resposta pode então ser facilmente encontrada apenas traduzindo de volta para a forma de equação. Obtemos x = 1 ey = 2. Como você pode ver, usar o inverso de uma matriz para encontrar nossa solução pode ser uma coisa muito fácil de fazer. Eu usaria esse método sempre que você souber qual é o inverso de uma matriz.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos. O inverso multiplicativo de uma matriz é a matriz que fornece a matriz de identidade quando multiplicada pela matriz original. Em matemática símbolo falar, temos Um * A sup -1 = I .
Você pode usar o inverso multiplicativo de uma matriz para resolver problemas na forma de Ax = b , onde A é sua matriz de coeficientes, x é sua matriz variável e b é sua resposta ou matriz constante.
Se você conhece o inverso de uma matriz, pode resolver o problema multiplicando o inverso da matriz pela matriz de resposta, x = A sup -1 * b . Depois de multiplicar, você pode encontrar facilmente a resposta traduzindo de volta para a forma de equação.
Resultados de Aprendizagem
Após esta lição, você deve ser capaz de:
- Definir o inverso multiplicativo de uma matriz
- Explique quando e como você pode usar o inverso multiplicativo de uma matriz para resolver problemas