Raízes quadradas na vida real
Stephanie pertence à equipe de adereços e cenografia e está trabalhando na peça da escola. Um de seus projetos requer o corte de um pedaço quadrado de madeira compensada diagonalmente em dois triângulos que ela pretende usar como porta-retratos.
Stephanie sabe que as pernas do triângulo terão sessenta centímetros de comprimento porque o pedaço de compensado que ela vai cortar mede sessenta por sessenta centímetros. Ela sabe que as diagonais vão ser mais longas, mas não sabe exatamente quanto, porque não tem uma calculadora ou uma fita métrica. Na aula de geometria, ela aprendeu que o comprimento do lado mais longo de um triângulo retângulo é igual ao comprimento do lado mais curto vezes a raiz quadrada de dois. Como ela pode calcular 2 vezes a raiz quadrada de 2?
A raiz quadrada de 2 significa simplesmente que um número multiplicado por ele mesmo é igual a 2. Vamos ver como Stephanie pode calcular a raiz quadrada de 2 sem usar uma calculadora.
Iteração
Uma maneira de calcular a raiz quadrada de 2 é por meio de um processo de suposições educadas repetidas. Esse processo é chamado de iteração e envolve o uso dos resultados da estimativa anterior para informar a próxima. Dessa forma, você pode chegar cada vez mais perto da resposta real até chegar ao ponto em que decide que está perto o suficiente. Mas por onde começar?
Vamos começar revisando o que sabemos sobre os quadrados dos números antes e depois de 2. A raiz quadrada de 1 é 1, então a raiz quadrada de 2 terá que ser maior que 1. A raiz quadrada de 4 é 2, então o quadrado a raiz de 2 deve ser menor que 2. Portanto, a raiz quadrada de 2 está em algum lugar entre 1 e 2. Vamos dividir a diferença e tentar 1,5 como nossa primeira estimativa.
1,5 x 1,5 = 1,5 (1 + 0,5) = 1,5 + 0,75 = 2,25
Como 2,25 é maior que 2, vamos fazer nosso próximo palpite de 1,4.
1,4 x 1,4 = 1,4 (1 + 0,4) = 1,4 + 0,56 = 1,96
Estamos chegando bem perto. Na verdade, nossos cálculos podem ser precisos o suficiente para muitas situações em que estamos usando a raiz quadrada de 2. No entanto, Stephanie realmente quer que seu quadro de imagem seja dimensionado com precisão, então sua estimativa da raiz quadrada de 2 também deve ser precisa para Duas casas decimais. Vamos tentar 1.42 a seguir.
1,42 x 1,42 = 1,42 (1 + 0,4 + 0,02) = 1,42 + 0,568 + 0,0284 = 2,0164
Agora estamos chegando muito perto. Vamos tentar 1.41 a seguir. Pode não ser mais preciso do que 1,42, caso em que manteremos 1,42 como nossa resposta.
1,41 x 1,41 = 1,41 (1 + 0,4 + 0,01) = 1,41 + 0,564 + 0,014 = 1,9881
Como 2 – 1,9881 = 0,0119 é menor que 0,0164, 1,41 é ligeiramente mais próximo da raiz quadrada de 2 do que 1,42. Manteremos 1,41 como nossa resposta, que tem precisão de duas casas decimais.
Agora que sabemos a raiz quadrada de dois, podemos substituir em nossa expressão original e avaliar: 2 (1,41) = 2,82. Nossa resposta é de 2,82 pés.
Verificando Seu Trabalho
Agora que temos uma resposta para nosso problema, precisamos nos perguntar se nossa resposta faz sentido. Então, faz sentido que 2 vezes a raiz quadrada de 2 seja igual a 2,82?
A resposta é: sim, 2,82 parece uma resposta razoável. É claro que isso não significa que nossa resposta esteja exatamente certa, mas fazer essa pergunta a nós mesmos nos ajudará a evitar erros graves.
Uma maneira eficaz de verificar a resposta a um problema de matemática é trabalhar o problema de trás para frente. Em vez de tentar encontrar a raiz quadrada de 2 e multiplicá-la por 2 para obter nossa resposta, podemos dividir nossa resposta por 2 e, em seguida, elevá-la ao quadrado.
2,82 / 2 = 1,41
1,41 x 1,41 = 1,9881
Essa resposta é bem próxima de 2, então nossa resposta final de 2,82 é próxima, mas não exatamente, igual a 2 vezes a raiz quadrada de 2.
Outra maneira de verificar os cálculos é usar uma calculadora, se houver uma disponível. Nossa resposta foi 2,82, mas quão perto isso está da resposta real que obteríamos se tivéssemos acesso a uma calculadora? A resposta real, com precisão de seis casas decimais, é 2,828427, arredondada para 2,83. Portanto, embora nossa resposta não tenha acertado duas casas decimais, ela estava a menos de 0,3% da resposta real.